1- La symétrie centrale

1.1 Définition et Représentation

1.1.1 Définition

Soit O un point dans le plan. La transformation géométrique reliant chaque point M du plan au point M' tel que O soit le milieu du segment [MM'] est appelée symétrie centrale de centre O et est notée S_O.

Autrement dit: S_O(M)=M' signifie O est le milieu du segment [MM'].

1.1.2 Représentation graphique

Soit M un point et S_O(M)=M'.

Remarque
1) La symétrie centrale admet un unique point invariant (le centre O)

2) Un point I est invariant par une transformation T signifie que T(I)=I.

Exercice 1 tp

Soit EFG un triangle rectangle en F.
Tracer le triangle E'F'G' image du triangle EFG par la symétrie centrale de centre E et déterminer sa nature.

1.1.3 Propriété caractéristique de la symétrie centrale

Une transformation T est une symétrie centrale si et seulement si
pour tous points M et N
M'N'^→=- MN^→
tels que M'=T(M) et N'=T(N).

1.2 Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs

1.2.1 Introduction

1) Deux vecteurs u^→ et v^→sont colinéaires signifie qu'il existe un réel k tel que v^→=ku^→.
2) Il existe trois points A ; B et C tels que
u^→=AB^→ et v^→=AC^→
donc AC^→=kAB^→.

En utilisant la Propriété caractéristique de la symétrie centrale, on obtient
A'B^→'=-AB^→ et A'C'^→=-AC^→
donc -A'C'^→=-kA'B'^→
ainsi A'C'^→=kA'B'^→.
(Le coefficient k ne change pas)

1.2.2 Propriété

La symétrie centrale conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

1.2.3 Résultats

La symétrie centrale conserve l'alignement des points et le milieu d'un segment.

1.2.4 Distance et symétrie centrale

Propriété
Soit S une symétrie centrale. La distance de deux points est la même que la distance de leurs symétriques.
En d'autre terme
Si S(A)=A' et S(B)=B' alors A'B'=AB.

Résultat
La symétrie centrale conserve la distance