Exercice 1 tp

Soit x∈IR.
Montrer que cos⁴x-sin⁴x=-1+2cos²x.

Correction

cos⁴x-sin⁴x=(cos²)²x-(sin²)²x
=(cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)
On a cos²x+sin²x=1 donc sin²x=1-cos²x
et donc cos²x-sin²x=cos²x-(1-cos²x).
ou encore cos²x-sin²x =-1+2cos²x.

ainsi cos⁴x-sin⁴=-1+2cos²x.

Exercice 2 tp

1) Tracer le point M(x) sur le cercle trigonométrique (C) tel que

sinx =	1	; x∈I = [0 ;	π	]
	2		2

2) Calculer cosx et tanx sachant que x∈I.

Correction

1) M(x)∈(C) signifie que sinx est l'ordonnée du point M dans le repère lié au cercle (C) et cosx son abscisse donc M(cosx;sinx).

2) cos²x+sin²x=1 signifie cos²x=1-sin²x
signifie

cos²x = 1 - (	1	)² =	3
	2		4

donc

cosx =	√(3)	ou cosx =	- √(3)
	2		2

M appartient à l'arc[AB] donc cosx ≥ 0

ainsi cosx =	√(3)
	2

On a cosx≠0 donc tanx∈IR

tanx =	sinx
	cosx

ou encore

tanx =		1
		2
		√(3)
		2

Ainsi

tanx =	√(3)
	3

5.1.4 Propriété 3

1) Si x∈[	-π	;	π	]
	2		2

alors cosx≥0.

2) si x∈[-π;	-π	] ∪ [	π	; π]
	2		2

alors cosx≤0.

5.1.5 Propriété 4

1) Si x∈[-π;0] alors sinx≤0.
2) Si x∈[0;π] alors sinx≥0.