4- Lignes trigonométriques d'un nombre réel et d'un angle de deux vecteurs

4.1 Lignes trigonométriques d'un nombre réel

(C) est le cercle trogonométrique de centre O lié au repère orthonormé direct (O; i^→; j^→).
Si on considère un nombre réel x alors il existe un seul point M(x) dans (C) image de x.

1) L'abscisse du point M dans le repère est appelée cosinus de x et est noté cosx.
2) L'ordonnée du point M dans le repère est appelée sinus de x et est noté sinx.
3) Si l'abscisse de T dans l'axe (D) existe alors elle est appelée tangente de x et est notée tanx.

Notons que si (OM)=(OB) alors T n'existe pas car (OB)||(D).
Ainsi tanx est définie si x≠(π/2)+kπ tel que k∈ℤ.

4.2 Lignes trigonométriques d'un angle de deux vecteurs

4.2.1 Définition

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
Si x est une mesure en radian de l'angle orienté (u^→;v^→) alors

{	cos(u→;v→) =	cosx
	sin(u→;v→) =	sinx

5- Relations trigonométriques et Lignes trigonométriques

5.1 Relations trigonométriques

5.1.1 Introduction

On considère OHM le triangle rectangle en H.
1) En utilisant le théorème de Pythagore on obtient OH²+HM²=OM²
OM=1 ; OH=cosx ; HM=OK=sinx
donc cos²x+sin²x=1.

2) La tangente d'un angle

tanx =	AT	=	HM
	OA		OH
=	OK	=	sinx
	OH		cosx

3) Relation entre tanx et cosx.

1+tan²x = 1+	sin²x
	cos²x

=	cos²x+sin²x	=	1
	cos²x		cos²x

5.1.2 Propriété 1

Soit x∈IR. cos²x + sin²x = 1

5.1.3 Propriétés 2

Soit x∈IR / x≠	π	+kπ	et k∈ℤ
	2

{	tanx =	sinx
		cosx
	1 + tan²x =	1
		cos²x