3- Les inéquations trigonométriques fondamentales

3.1 L'inéquation sinx≥a

3.1.1 Propriété

Soit x∈IR
Si x∈[-π;0] alors sinx≤0.
Si x∈[0;π] alors sinx≥0.

En général
Si x∈[-π+2kπ;0+2kπ] alors sinx≤0.
Si x∈[0+2kπ;π+2kπ] alors sinx ≥0.

3.1.2 Exemple

Résoudre dans I=[-π;π] l'inéquation
2sinx≥-√2.

Correction
2) Nous résolvons l'équation
(E): 2sinx=-√2 dans IR.
(E): 2sinx=-√2 signifie

sinx =	-√2
	2

sin(	-π	) =	-√2
	4		2

donc (E) signifie

sinx = sin(	-π	)
	4

ou	x =	-π	+2kπ	k et k'∈ℤ
		4
	x = π -	-π	+2k'π
		4

2) Nous encadrons les solutions sur l'intervalle I=[-π;π].
(a)

-π ≤	-π	+ 2kπ	≤ π
	4

-1 ≤	-1	+ 2k	≤ 1
	4

signifie

-1 -	-1	≤+2k ≤ 1-	-1
	4		4

Signifie

-3	≤ k ≤	5
8		8

k∈ℤ donc k=0 ainsi

x =	- π
	4

(b)

-π ≤	5π	+ 2k'π	≤ π
	4

Signifie

-1 ≤	5	+ 2k'	≤ 1
	4

signifie

-1 -	5	≤ + 2k' ≤ 1 -	5
	4		4

signifie

-9	≤k'≤	-1
8		8

k'∈ℤ donc k'=-1 ainsi

x =	- 3π
	4

3) On représente ces solutions sur un axe ou sur le cercle trigonométrique (C)
(-π)---(-3π4)---(-π/2)---(-π/4)---(0)
(0)---(π/2)---(π)
alors

S = [-π	;	-3π	]∪[	-π	;	π]
		4		4