Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=-x³+27x.
1) Déterminer f'(x).
2) Etudier le signe de f' et déduire la monotonie de f.
3) Tracer le tableau de variations de f.
4) Déduire les extremums de f.

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR
f'(x)=(-x³+27x)'=-3x²+27
donc f'(x)=-3x²+27.

2) (a) Signe de f'
f'(x)=0 ⇔ -3x²+27 = 0
⇔ -3(x²-9)=0 ⇔ x²-9=0
⇔ (x-3)(x+3)=0
⇔ (x-3=0) ou (x+3)=0)
⇔ (x=3 ou x=-3).

f'(x) est un trinôme et a=-3<0 donc

x		-∞		-3		3		+∞
f'(x)			-	0	+	0	-

Si x∈]-∞;-3[ alors f'(x)<0.
Si x∈]3;+∞[ alors f'(x)<0.
Si x∈]-3;3[ alors f'(x)>0.

(b) monotonie de f.
D'après la question précédente
f'(x)<0 si x∈]-∞;-3[ donc f est strictement décroissante sur ]-∞;-3].
f'(x)<0 si x∈]3;+∞[ donc f est également strictement décroissante sur [3;+∞[.
f'(x)>0 si x∈]-3;3[ donc f est strictement croissante sur [-3;3].

(c) On calcule les limites pour tracer le tableau de variations

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

-x³

donc

lim - ∞

f(x) = - ∞

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

-x³

donc

lim + ∞

f(x) = + ∞

x		-∞		-3		3		+∞
f '(x)			-	0	+	0	-
f		+∞	↘	-54	↗	54	↘	- ∞

3) Extremums de f.
La fonction dérivée f' s'annule au point -3 et change de signe de (-) à (+) donc f(-3)=-54 est une valeur minimale de f sur ]-∞;3[
La fonction dérivée f' s'annule au point 3 et change de signe de (+) à (-) donc f(3)=54 est une valeur maximale de f sur ]-3;+∞[.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique.
Calculer f'(x) dans chacun des cas suivants.
1) f(x)=5-x.
2) f(x )=x²-10x+5.
3) f(x)=(7x-2)(4-x).
4) f(x)=-x³+4x²-3x+2.
5) f(x)=5x³-15x²+1.