Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=-2x²+4x+3.
1) Déterminer f'(x).
2) Etudier le signe de f' et déduire la monotonie de f.
3) Tracer le tableau de variations de f.
4) Déduire un extremum de f.

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR
f'(x)=(-2x²+4x+3)'=-4x+4
donc ∀x∈IR on a f'(x)=-4x-4.
2) f'(x)=0 ⇔ -4x+4=0
⇔ -4x=-4 ⇔ x=1.
On a f'(x) est de la forme ax+b
et a=-4<0 donc

Si x∈]-∞;1[ alors f'(x)>0.
Si x∈]1;+∞[ alors f'(x)<0.
On déduit donc que f est strictement croissante sur l'intervalle ]-∞;1] et strictement décroisssante sur l'intervalle [1;+∞[.
3) On calcule les limites pour tracer le tableau de variations.

4) La fonction dérivée f' s'annule au point 1 et change de signe de (+) à (-) donc f(1)=5 est une valeur maximale de f sur IR
ainsi 5 est un extremum de f.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=x³-3x.
1) Déterminer f'(x) et étudier son signe.
2) Déduire la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
3) Déduire les extremums de f.

Correction

1) (a) f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR. On a f'(x)=3x²-3.

On a donc (∀x∈IR) f'(x)=3x²-3.
(b)) f'(x)=0 ⇔ 3x²-3=0 ⇔ 3(x²-1)=0
⇔ x²-1=0 ⇔ (x-1)(x+1)=0
⇔ (x-1=0) ou (x+1=0)
⇔ (x=1) ou (x=-1).
a=3>0 donc le trinôme 3x²-3 est de signe de a à l'extérieur des racines

2) Si x∈]-∞;-1[∪]1;+∞[ alors f'(x)≥0.
Si x∈]-1;1[ alors f'(x)<0.

f est donc strictement croissante sur [1;+∞[ et strictement décroissante sur [-1;1].
On calcule les limites pour tracer le tableau de variations.

3) La fonction dérivée f' s'annule au point -1 et change de signe de (+) à (-) donc f(-1)=2 est une valeur maximale de f sur ]-∞;1[
La fonction dérivée f' s'annule au point 1 et change de signe de (-) à (+) donc f(1)=2 est une valeur minimale de f sur ]-1;+∞[.