Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=(x²-1)(x²+1).
1) Montrer (∀x∈IR) f'(x)=4x³ et déduire la monotonie de f.
2) Tracer le tableau de variations de f et déduire ses extremums de f.

Correction

1) Méthode 1
f est une identité remarque
donc f(x)=(x²-1)(x²+1)=(x²)²-1
et donc f(x)=x⁴-1.
f est un polynôme donc dérivable sur IR
ainsi (∀x∈IR) f'(x)=4x³.

Méthode 2
On utilise les opérations sur les fonctions dérivées.
f est le produit de deux polynômes donc elle est dérivable sur IR.Soit x∈IR
f'(x)=[(x²-1)(x²+1)]'
=(x²-1)'(x²+1)+(x²-1)(x²+1)'
=2x(x²+1)+(x -1)(2x)
=2x³+2x+2x³-2x=4x³
donc (∀x∈IR) f'(x)=4x³.

Signe de f'(x).
f'(x)=0 ⇔ 4x³=0 ⇔ x=0.
f'(x)>0 ⇔ 4x³>0 ⇔ x>0
car 3 est un nombre impair l'inégalité ne change
f'(x)<0 ⇔ 4x³<0 ⇔ x<0
donc f est strictement croissante sur [0;+∞[
et strictement décroissante sur ]-∞;0].

2) (a) On calcule les limites pour tracer le tableau de variations

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim - ∞	(x² - 1)	×	lim - ∞	x² + 1
=	lim - ∞	(x²)	×	lim - ∞	(x²)

= (+∞) (+∞)=+∞.

On a donc

lim - ∞

f(x) =

+∞

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim + ∞	(x² - 1) ×	lim + ∞	x² + 1
=	lim + ∞	(x²) ×	lim + ∞	(x²)

= (+∞) (+∞) = +∞
donc

lim + ∞

f(x) =

+∞

x		-∞		0		+∞
f '			-	0	+
f		+ ∞	↘	-1	↗	+ ∞

(b) Extremum de f
La fonction dérivée f' s'annule au point 0 et change de signe de (+) à (-)
donc f(0)=-1 est une valeur minimale de f sur IR
et donc -1 est un exremum de f.