(4) الاشتقاق
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 1 |
| x²+3 |
حدد f '(x) حيث x∈D.
تصحيح
الدالة x → x² + 3 لا تنعدم على IR
لأن (∀x∈IR): x² ≠ - 3 بالاضافة الى ذلك قابلة للاشتقاق على IR لانها حدودية وبالتالي الدالة f قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR
| f '(x) = ( | 1 | )' = | -(x²+3)' |
| x²+3 | (x²+3)² |
وبالتالي لكل x∈IR
| f '(x) = | -2x |
| (x²+3)² |
تمرين 2 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 5x-1 |
| 2x+4 |
حدد f '(x) حيث x∈D
تصحيح
f دالة جذرية معرفة اذن اذا كان
2x + 4≠0
2x + 4 = 0 ⇔ 2x = -4 ⇔ x = -2
ومنه فان الدالة f قابلة للاشتقاق على D = IR\{-2}
| f '(x) = | (5x-1)'(2x+4) - (5x-1)(2x+4)' |
| (2x+4)² | |
| = | 5(2x+4) - (5x-1)(2) |
| (2x+4)² | |
| = | 10x+20-10x+2 |
| (2x+4)² |
ومنه فان لكل x∈IR\{-2}
| f '(x) = | 22 |
| (2x+4)² |
تمرين 3 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 5x |
| x²-4 |
حدد f '(x) حيث x∈D
تصحيح
f دالة جذرية معرفة اذن اذا كان x² - 4≠0
x² - 4 = 0 ⇔ (x-2)(x+2) = 0
⇔ x-2 = 0 أو x+2 = 0
⇔ x = 2 أو x = -2
ومنه فان الدالة f قابلة للاشتقاق
على المجموعة D = IR\{-2 ; 2}
| f '(x) = | (5x)'(x²-4) - (5x)(x²-4)' |
| (x²-4)² | |
| = | 5(x²-4) - (5x)(2x) |
| (x²-4)² | |
| = | 5x²-20 - 10x² |
| (x²-4)² |
| = | -5x² - 20 |
| (x²-4)² |
ومنه فان لكل x∈IR\{-2 ; 2}
| f '(x) = | -5x² - 20 |
| (x² - 4)² |
تمرين 4 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = x - | x² + 2 |
| x + 1 |
بين أن لكل x∈IR\{-1}
| f '(x) = | 3 |
| (x + 1)² |