Dérivation (4)
ُExercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 1 |
| x²+3 |
Déterminer f '(x) tel que x∈D.
Correction
La fonction x → (x² + 3) est un polynôme donc dérivable sur IR et puisque ne s'annule pas sur IR alors f est dérivable sur IR
Soit x∈IR
| f '(x) = ( | 1 | )' = | -(x²+3)' |
| x²+3 | (x²+3)² |
Ainsi (∀x∈IR) on a
| f '(x) = | -2x |
| (x²+3)² |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 5x-1 |
| 2x+4 |
Calculer f'(x) pour tout x∈D
Correction
f est définie si 2x+4≠0
2x+4=0 ⇔ x=-2 donc D = IR\{-2}
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D.
Soit x∈IR\{-2}
| f '(x) = | (5x-1)'(2x+4) - (5x-1)(2x+4)' |
| (2x+4)² | |
| = | 5(2x+4) - (5x-1)(2) |
| (2x+4)² | |
| = | 10x + 20 - 10x + 2 |
| (2x+4)² |
| Ainsi (∀x∈IR\{-2}): f '(x) = | 22 |
| (2x+4)² |
Exercice 3 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 5x |
| x²-4 |
Calculer f'(x) pour tout x∈D
Correction
f est définie si x² - 4≠0
x² - 4 = 0 ⇔ (x-2)(x+2) = 0
⇔ x-2 = 0 ou x+2 = 0
⇔ x = 2 ou x = -2
donc D = IR\{-2 ; 2}
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D.
Soit x∈IR\{-2 ; 2}
| f '(x) = | (5x)'(x²-4) - (5x)(x²-4)' |
| (x²-4)² | |
| = | 5(x²-4) - (5x)(2x) |
| (x²-4)² | |
| = | 5x²-20 - 10x² |
| (x²-4)² |
| = | -5x² - 20 |
| (x²-4)² |
Ainsi pour tout x∈IR\{-2 ; 2}
| f '(x) = | -5x² - 20 |
| (x² - 4)² |
Exercice 4 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = x - | x² + 2 |
| x + 1 |
Montrer que pour tout x∈IR\{-1}
| f '(x) = | 3 |
| (x + 1)² |