Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=x²-4x.
1) Déterminer f'(x) pour x∈IR.
2) Etudier le signe de f' et déduire les variations de f.
3) Tracer le tableau de variations de f.

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR on a f '(x) = 2x - 4
2) Signe de la fonction dérivée f '
f'(x) = 0 ⇔ 2x-4 = 0 ⇔ x = 2.

Puisque a=2 > 0 alors

x		-∞		2		+∞
f '(x)			-	0	+

donc ∀x∈]-∞ ; 2[ on a f '(x) < 0
et ∀x∈]2 ; +∞[ on a f '(x) > 0
Ainsi f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; 2]

f est strictement croissante sur [2 ; +∞[
Notons que 2 est considéré un point isolé car f '(2)=0

lim - ∞	f(x) =	lim - ∞	x² = +∞
lim + ∞	f(x) =	lim + ∞	x² = +∞

Tableau de variations

x		-∞		2		+∞
f '(x)			-	0	+
f		+∞	↘	-4	↗	+∞

Notons que -4 est une valeur minimale de f
car f'(2)=0 et f' change de signe au voisinage de 2 (de (-) à (+)).

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	2x-1
	x+1

1) Déterminer f '(x) et étudier son signe sur IR et déduire les variations de f
2) Calculer les limites suivantes

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

lim (-1)-

f(x)

lim (-1)+

f(x)

Et tracer le tableau de variations de f.

Correction

1) f est définie si x≠-1 donc D=IR\{-1}
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D. Soit x∈D

f '(x) =	(2x-1)'(x+1)-(2x-1)(x+1)'
	(x+1)²

f '(x) =	2(x+1)-(2x-1)(1)
	(x+1)²
=	2x+2-2x+1
	(x+1)²

Ainsi f '(x) =	3
	(x+1)²

On a (x+1)² > 0 car x≠-1
donc (∀x∈D): f'(x)>0 alors f est strictement
croissante sur ]-∞;-1[

f est strictement croissante sur ]-1;+∞[
2) Calcul des limites

lim - ∞	f(x) =	lim - ∞	2x	= 2
			x
lim + ∞	f(x) =	lim + ∞	2x	= 2
			x

Limite de f au point -1

x		-∞		-1		+∞
x+1			-	||	+

On déduit donc

lim (-1)-

f(x) = +∞

lim (-1)+

f(x) = -∞

x	-∞			-1			+∞
f '(x)		+		||		+
f	2	↗	+∞	||	-∞	↗	2