Rappel
m est une valeur minimale de f sur I s'il existe un élément a dans I
tel que (∀x∈I): f(x) ≥ m=f(a).

M est une valeur maximale de f sur I s'il existe un élément a dans I tel que
(∀x∈I): f(x) ≤ M=f(a).

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a∈I
si f' s'annule au point a et change de signe au point a alors f(a) est un extremum de f.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = -2x² + 4x + 3.
1) Déterminer f '(x) tel que x∈IR.
2) Etudier les variations de f et tracer son tableau de variations.
3) Déduire un extremum de f.

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR
f '(x)=(-2x² + 4x + 3)' = -4x+4
donc (∀x∈IR) on a f'(x) = -4x - 4
2) f '(x) = 0 ⇔ -4x + 4 = 0 ⇔ x = 1.

a = -4 < 0 donc

Si x∈]-∞ ; 1[ alors f '(x) > 0
Si x∈]1 ; +∞[ alors f '(x) < 0
Donc f est strictement croissante
sur ]-∞ ; 1] et strictement décroissante
sur [1 ; +∞[
3) On calcule d'abord les limites suivantes

3) f ' s'annule en 1 et change de signe de (+) à (-) donc f(1) = 5 est une valeur maximale donc un extremum de f sur IR

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = x² + 4x + 5
1) Déterminer f '(x) tel que x∈IR
2) Etudier les variations de f et tracer son tableau de variations
3) Déduire un extremum de f

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR
f '(x) = (x² + 4x + 5)' = 2x + 4
Donc (∀x∈IR) on a f '(x) = 2x + 4
2) f '(x) = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2

f '(x)=2x+4=ax+b donc a = 2 > 0 alors

Si x∈]-∞ ; -2[ alors f '(x) < 0
Si x∈]-2 ; +∞[ alors f '(x) > 0

Donc f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; -2] et strictement croissante
sur [-2 ; +∞[
3) On calcule d'abord les limites suivantes

3) f' s'annule en -2 et change de signe de (-) à (+) donc f(-2) = 1 est une valeur minimale donc un extremum de f sur IR.