3.3 Arrangement sans répétition

3.3.1 Exemple

Combien de nombres possibles à deux chiffres différents peuvent être formés parmi les chiffres 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ?

Correction
Il y'a 5 choix pour désigner le chiffre de l'unité et il reste 4 choix pour les dizaines
et d'après le principe du dénombrement, le nombre de possibilités est donc 5×4=20.

On écrit

A

2 5

= 5×4

3.3.2 Définition

Soient n et p deux entiers naturels tel que p≤n.
Un arrangement sans répétition de p éléments parmi n éléments est une disposition ordonnée de p éléments différents.

3.3.3 Propriété

Soient n et p deux entiers naturels tel que p≤n.
Le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments parmi n éléments est défini par

A	p n	= n×(n-1)×(n-2)×...×(n-p+1)

(Produit de p facteurs consécutifs)

A	0 0	= 1		A	1 1	= 1
A	0 n	= 1		A	1 n	= n

Exemples

A

4 20

=20×19×18×17

Produit de 4 facteurs consécutifs.

A

5 22

=22×21×20×19×18

Produit de 5 facteurs consécutifs.

3.3 Les permutations

3.3.1 Définition

La permutation de n éléments est une classement ordonnée de n éléments différents.

3.3.2 Propriété

Le nombre de permutations de n éléments différents est n×(n-1)×...2×1, (Produit de n facteurs), noté n! et on lit n facoriels.

Exemples
1) 2!=2.1=2.
2) 4!=4.3.2.1=24.
3) 5!=5.4.3.2.1=120.

Exercice 1 tp

Déterminer le nombre de résultats possibles de la course de 100 mètres, à laquelle participent 8 atlètes.

Correction

Pour cette situaion, l'ordre est important et sans répétition. Il s'agit donc des permutations.
Le nombre de résultats possibles de la course de 100 mètres est 8!=40320.