3.4 Les combinaisons

3.4.1 Exemple

Soit E={1;2;3;4;5}.

1) Les parties de deux éléments de E sont
{1;2} ; {1;3} ; {1;4} ; {1;5} ; {2;3}
{2;4} ; {2;5}; {3;4} ; {3;5} ; {4;5}
il en a 10 et chaque partie est appelé une combinaison de deux éléments parmi 5 éléments.

Remarques
Le nombre d'arrangements sans répétitions de 2 éléments parmi 5 éléments

A

2 5

=5×4=20

Le nombre de permutations de 2 éléments 2!=2.1=2.
On a donc l'égalité

10 =	20	=	A	2 5
	2		2!

2) Le nombre de parties de quatre éléments

A	4 12	=	12.11.10.9	= 495
4!			24

3.4.2 Définition

Soient n et p deux entiers naturels tel que p≤n.
Une combinaison de p éléments parmi n élément est un ensemble de p éléments parmi n éléments.

3.4.3 Propriété

Soient n et p deux entiers naturels tel que p≤n.
Le nombre de combinaisons de p éléments parmis n éléments est le nombres

C	p n	=	A	p n
			p!

Exemples

C	2 8	=	A	2 8	=	8×7
			2!			2

donc

C

2 8

= 28

C	5 5	=	A	5 5	=	5!
			5!			5!

Donc

C

5 5

= 1

C	0 10	=	A	0 10	=	1	= 1
			0!			1

donc

C

0 10

= 1

C	1 7	=	A	1 7	=	7
			1!			1

donc

C

1 7

= 7

C	4 10	=	A	4 10	=	10.9.8.7
			4!			4.3.2.1

donc

C

4 10

= 210

3.4.4 Propriété

Soient n et p deux entiers naturels tel que p≤n.

C	0 n	=	1		C	n n	=	1
C	1 n	=	n		C	p n	= C	n-p n

C	p n	=	n!
			p!(n-p)!

Si p≥1 alors	C	p n	=	n	C	p-1 n-1
				p