Equations Inéquations Et Systèmes (3)
2- Equations et inéquations du second degré à une inconnue
2.1 Equations du second degré
2.2.1 Définition
Soient a ; b ; c des nombres réels tel que a≠0 et x un nombre inconnu.
L'quation du second degré à une inconnue s'écrit sous la forme
ax²+bx+c=0
et son discriminant Δ=b²-4ac.
2.2.2 Factorisation et résolutions
Soit T(x)=ax²+bx+c un trinôme. on a
Δ=b²-4ac
1) Si Δ=0
| T(x) = a(x+ | b | )² |
| 2a |
ainsi l'équation ax²+bx+c=0 admet une solution double
| x1 = | - b |
| 2a |
2) Si Δ > 0
| T(x) = a(x- | -b-√(Δ) | )(x- | -b+√(Δ) | ) |
| 2a | 2a |
alors T(x)=0 admet deux solutions différentes
| x1 = | - b - √(Δ) | x2 = | - b + √(Δ) | |
| 2a | 2a |
T(x)=a(x-x1)(x-x2)
3) Si Δ < 0
alors T(x) ne se factorise pas.
2.2.3 Propriété
Soit a ; b ; c∈IR tel que a≠0 et S l'ensemble de solutions de l'équation
(E): ax²+bx+c=0.
1) Si Δ=b²-4ac=0 alors
l'équation (E) admet une solution double
| S = { | -b | } |
| 2a |
2) Si Δ > 0 L'équation (E) admet deux solutions différentes
| S = { | - b - √(Δ) | ; | - b + √(Δ) | } |
| 2a | 2a |
3) Si Δ < 0 alors S=∅.
Exemple 1
Résoudre dans IR l'équation
x²-10x+25=0.
Correction
| a=1 | b=-10 | c=25 |
Δ=b²-4ac=(-10)²-4.1.25
Δ=100-100=0 donc
l'équation admet une solution double
| x1 = | -b | = | -(-10) | = 5 |
| 2a | 2.1 |
ainsi S={ 5 }.
Exemple 2
Résoudre dans IR l'équation
-5x²+3x+2=0.
Correction
| a=-5 | b=3 | c=2 |
Δ=b²-4ac=3²-4.(-5).2=9+40
Δ=49>0 donc l'équation (E) admet deux solutions différentes
| x1 = | -b - √Δ | x2 = | -b + √Δ | |
| 2a | 2a | |||
| = | -3 - √49 | = | -3 + √49 | |
| 2(-5) | 2(-5) | |||
| = | -10 | = | 4 | |
| -10 | -10 | |||
| = | 1 | = | -2 | |
| 1 | 5 |
| S = { | -2 | ; | 1} |
| 5 |
Exemple 3
Résoudre dans IR l'équation
7x²+x+10=0.
Correction
| a=7 | b=1 | c=10 |
Δ=b²-4ac=1²-4.7.10=1-128
Δ=-127<0 donc l'équation impossible dans IR
ainsi S=∅.
Exercice 1 tp
Résoudre dans IR l'équation
2x²+√(8)x+1=0.