Equations Inéquations Et Systèmes (4)
2.2 Signe d'un trinôme
2.2.1 Rappel
Soit T(x)=ax²+bx+c tel que a≠0.
La forme canonique du trinôme T(x)
| T(x) = a([x+ | b | ]² - | Δ | ) |
| 2a | (2a)² |
2.2.2 Signe de T(x)
| Si Δ=0 alors T(x) = a(x + | b | )² |
| 2a |
T(x) est de signe de a.
De plus T(x) admet une racine double
| x1 = | -b |
| 2a |
| x | -∞ | x1 | +∞ | |||
| f(x) | signe a | 0 | signe a |
2) Si Δ<0 alors T(x) ne se factorise pas et de signe a mais ne s'annule pas.
| x | -∞ | +∞ | |
| f(x) | signe a |
3) Si Δ>0 alors T(x) admet deux racines différentes
| x1 = | -b - √(Δ) | et x2 = | -b + √(Δ) |
| 2a | 2a |
et T(x)=a(x-x1)(x-x2)).
Tableau de signes de T(x) (x1 < x2).
| x | -∞ | x1 | x2 | +∞ | |||
| T | signe a | 0 | signe -a | 0 | signe a |
Exercice 1 tp
Etudier le signe du trinôme
Q(x)=-x²+2x-1.
Correction
On peut écrire Q(x) sous la forme d'une identité remarquable en factorisant par -1 et il n'est pas nécéssaire d'utiliser Δ.
Q(x)=-(x²-2x+1)=-(x-1)²
∀x∈IR on a (x-1)²≥0 donc ∀x∈IR on a -(x-1)²≤0
donc Q(x)≤0
ainsi (∀x∈IR) (Q(x)≤0).
Exercice 2 tp
Etudier le signe de L(x)=2x²+7x+3.
Correction
| a=2 | b=7 | c=3 |
Δ=b²-4ac=7²-4.2.3=49-24=25.
Δ>0 donc L(x) admet deux racines
| x1 = | -b - √Δ | x2 = | -b + √Δ | |
| 2a | 2a | |||
| = | -7 - √25 | = | -7 + √25 | |
| 2.2 | 2.2 |
| x1 = | -12 | x2 = | - 2 | |
| 4 | 4 | |||
| x1 = | - 3 | x2 = | - 1 | |
| 2 |
a=2>0 donc
| x | -∞ | - 3 | -0,5 | +∞ | |||
| T(x) | + | 0 | - | 0 | + |
Si x∈[-3;-0,5] alors T(x)≤0.
Si x∈]-∞;-3]∪[-0,5;+∞[ alors T(x)≥0.
Exercice 3 tp
Etudier le signe de L(x)=-2x²+3x+5.
Correction
| a=-2 | b=3 | c=5 |
Δ=b²-4ac=3²-4.(-2).5=9+40
Δ=49>0 donc L(x) admet deux racines
| x1 = | -b - √Δ | x2 = | -b + √Δ | |
| 2a | 2a | |||
| = | -3 - √49 | = | -3 + √49 | |
| 2(-2) | 2(-2) |
| x1 = | -10 | x2 = | 4 | |
| -4 | -4 | |||
| = | 5 | = | - 1 | |
| 2 |
a=-2<0 donc
| x | -∞ | - 1 | 2,5 | +∞ | |||
| T(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Si x∈]-∞;-1]∪[2,5;+∞[ alors T(x)≤0.
Si x∈[-1;2,5] alors T(x)≥0.