Exercice 1 tp

1) Résoudre dans IR l'équation (E)
-√2x² + 2(√2)x - 1 = 0.
2) Résoudre dans IR l'inéquation (I)
-√2x² + 2(√2)x - 1 < 0.

Correction

1) Solutions de l'équation

a=-√2

;

b=2√2

;

c=-1

Δ = b²-4ac
= (2√2)² - 4(-√2).(-1)
= 8-8 = 0

Δ = 0 donc l'équation admet une solution double

x1 =	-b	=	-2√2	= 1
	2a		2.(-√2)

S₁ = { 1 }
2) Solutions de l'inéquation
On pose T(x) = -√2x² + 2(√2)x - 1
d'après la question (1) T(x) admet une racine double x₁ = 1
Δ = 0 donc T(x) est de signe a

a = -√(2) < 0
donc (∀x∈IR)(T(x) ≤ 0)

x		-∞		1		+∞
T(x)			-	0	-

L'inégalité est stricte dans l'inéquation posée donc 1 n'appartient pas à l'ensemble de solutions
Ainsi S₂ = IR \{1} En d'autre terme
S₂ = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[

Exercice 2 tp

1) Vérifier
(7 - √2)² = 51 - 14√2
2) On considère l'équation (E)
x² - (7+√2)x + 7√2 = 0
Montrer que le discriminant de (E)
Δ = (7 - √2)² puis résoudre l'équation (E)
3) Résoudre dans IR l'inéquation (I)
x² - (7+√2)x + 7√2 ≤ 0

Correction

1) (7-√2)² = 7² - 2.7.(√2) + (√2)²
= 49 - 14√2+2 = 51 - 14√2
2) x² - (7+√2)x + 7√2 = 0

a=1

;

b=-(7+√2)

;

c=7√2

Δ = b²-4ac = (7+√2)²-4.1.7√2
= 49 + 14√2 + 2 -28√2
= 51 - 14√2 = (7-√2)² > 0 donc l'équation admet deux solutions différentes
On a √(Δ) = 7 - √(2)

x1 =	-b-√Δ
	2a
=	7+√2 -(7-√2)
	2
=	2√2
	2
=	√2

x2 =	-b+√Δ
	2a
=	7+√2 +(7-√2)
	2
=	14
	2
=	7

Ainsi S₁ = {√2 ; 7}

3) a = 1 > 0 donc T(x) est négatif à l'intérieur des racines

x	-∞		√(2)		7		+∞
T(x)		+	0	-	0	+

Donc S2 = [

√(2)

;

7 ]