2- التمثيل المبياني لدالة عددية

2.1 الدالة x→ax²+bx+c

2.1.1 مثال 1

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x)=2x²-4x+1 و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→).
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f.

2) احسب النهايتين التاليتين

3) احسب f'(x) حيث x∈D وادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها واستنتج مطرافا لها.
4) (a) انشئ (C).
(b) حل مبيانيا المعادلة f(x)=0.
(c) حل مبيانيا المتراجحة f(x)≤0.

تصحيح
1) لدينا f حدودية اذن D=IR.
2) حساب النهايات

3) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR.

ليكن x∈IR
f'(x)=(2x²-4x+1)'=4x-4
اذن لكل (x∈IR) f'(x)=4x-4.
اشارة f'(x)
f'(x)=0 ⇔ 4x-4=0
⇔ 4x=4 ⇔ x=1
f'(x) تكتب على الشكل ax+b
ولدينا a=4>0 اذن

اذا كان x∈]-∞;1[ فان f'(x)<0.
اذا كان x∈]1;+∞[ فان f'(x)>0
وبالتالي الدالة f تناقصية قطعا على ]-∞;1] وتزايدية قطعا على [1;+∞[.
جدول التغيرات

الدالة المشتقة f' تنعدم في 1 وتتغير اشارتها من - الى + اذن الدالة f تقبل قيمة دنيا f(1)=-1.

4) (a) منحنى الدالة f
لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى.

(b) حل مبيانيا المعادلة f(x)=0 يعني تحديد عدد نقط تقاطع المنحنى (C) ومحور الافاصيل (Ox).
المنحنى (C) يقطع محور الأفاصيل في نقطتين وبالتالي المعادلة f(x)=0 تقبل حلين a و b حيث 0<a<1 و 1<b<2.
(c) حلول مبيانيا المتراجحة f(x)≤0 يعني تحديد المجالات التي يكون المنحنى (C) تحت محور الافاصيل.
في المجال [a;b] المنحنى (C) تحت محور الافاصيل (Ox) اذن مجموعة حلول المتراجحة f(x)≤0
S=[a;b]
بحيث a و b حلين للمعادلة f(x)=0.