2.3 الدالة المتخاطة

x→	ax + b
	cx + d

2.3.1 مثال 1

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	2x - 1
	x - 1

و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→).
1) حدد D مجموعة تعربف الدالة f.

2) احسب النهايات التالية

lim - ∞	f(x)		lim + ∞	f(x)
lim 1-	f(x)		lim 1+	f(x)

واستنتج مقاربات المنحنى (C).
3) احسب f'(x) حيث x∈D وادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها.
4) انشئ المقاربين والمنحنى (C).

تصحيح
1) f معرفة اذا كان x-1≠0 أي x≠1
اذن D=IR\{1}=]-∞;1[∪]1;+∞[.
2) حساب النهايات وتحديد المقاربات

lim -∞	f(x) =	lim -∞	2x	= 2
			x

وهذا يعني أن المنحنى (C) يقبل مقاربا
معادلته y=2 بجوار -∞.

lim +∞	f(x) =	lim +∞	2x	= 2
			x

وهذا يعني أن المنحنى (C) يقبل مقاربا
معادلته y=2 بجوار +∞.

2) (c) لتحديد النهاية على اليمين او على اليسار ندرس اشارة المقام x-1 باستعمال جدول الاشارة بجوار النقطة 1.
نضع p(x)=2x-1 و q(x)=x-1.
لدينا p(1)=2(1)-1=1.

x		-∞		1		+∞
x - 1			-	||	+

عندما x→1^- فان q(x)→0^-.

lim 1-	f(x)	=	1	= - ∞
			0-

ومنه فان المستقيم (D): x=1 مقارب ل (C).
عندما x→1⁺ فان q(x)→0⁺.

lim 1+	f(x)	=	1	= + ∞
			0+

ومنه فان المستقيم (D): x=1 مقارب ل (C).

4) f دالة جذرية اذن قابلة للاشتقاق على D. ليكن x∈D

f'(x) =	(2x-1)'(x-1) - (2x-1)(x-1)'
	(x-1)²
=	2(x-1) - (2x-1)(1)
	(x-1)²
=	2x - 2 - 2x + 1
	(x-1)²

وبالتالي لكل x∈D لدينا

f ' (x) =	-1
	(x - 1)²

اشارة f'(x)
لدينا -1<0 و (x-1)²>0
اذن (∀x∈IR \{1}) f'(x)<0
وهذا يعني ان الدالة f تناقصية قطعا على ]-∞;1[ وتناقصية قطعا كذلك على ]1;+∞[.
جدول تغيرات الدالة f

x		-∞			1			+∞
f '(x)			-		||		-
f		2	↘	-∞	||	+∞	↘	2

5) منحنى الدالة f.