2.3.2 مثال 2

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	x + 1
	x + 2

و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→).
1) حدد D مجموعة تعربف الدالة f.

2) احسب النهايات التالية

lim - ∞	f(x)		lim + ∞	f(x)
lim 2-	f(x)		lim 2+	f(x)

واستنتج مقاربات المنحنى (C).
3) احسب f'(x) حيث x∈D وادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها.
4) انشئ المقاربين والمنحنى (C).

تصحيح
1) f معرفة اذا كان x+2≠0 أي x≠-2
اذن D=IR\{-2}=]-∞;-2[∪]-2;+∞[
2) حساب النهايات وتحديد المقاربات

lim -∞	f(x) =	lim -∞	x	= 1
			x

وهذا يعني أن المنحنى (C) يقبل مقاربا
معادلته y=1 بجوار -∞.

lim +∞	f(x) =	lim +∞	x	= 1
			x

وهذا يعني أن المنحنى (C) يقبل مقاربا
معادلته y=1 بجوار +∞.

2) (c) لتحديد النهاية على اليمين او على اليسار ندرس اشارة المقام x+2 باستعمال جدول الاشارة بجوار النقطة 1.
نضع p(x)=x+1 و q(x)=x+2.
لدينا p(-2)=-2+1=-1.

x		-∞		-2		+∞
x + 2			-	||	+

عندما x→-2^- فان q(x)→ 0^-.

lim -2-	f(x)	=	-1	= + ∞
			0-

ومنه فان المستقيم (D): x=-2 مقارب ل (C)
عندما x→-2⁺ فان q(x)→0⁺.

lim -2+	f(x)	=	-1	= - ∞
			0+

ومنه فان المستقيم (D): x=-2 مقارب ل (C).

4) f دالة جذرية اذن قابلة للاشتقاق على D.

ولدينا لكل x∈D

f '(x) =	(x + 1)'(x + 2) - (x + 1)(x + 2)'
	(x + 2)²
=	(x + 2) - (x + 1)(1)
	(x + 2)²
=	x + 2 - x - 1
	(x + 2)²

وبالتالي لكل x∈D لدينا

f '(x) =	1
	(x + 2)²

اشارة f'(x).
لدينا 1>0 و (x + 2)²>0
اذن (∀x∈IR \{-2}) f'(x) > 0
وهذا يعني ان الدالة f تناقصية قطعا على ]-∞;-2[ وتناقصية قطعا كذلك على ]-2;+∞[.
جدول تغيرات الدالة f

x		-∞			-2			+∞
f '(x)			+		||		+
f		1	↗	+∞	||	-∞	↗	1

5) منحنى الدالة f.