Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=2x+4. Montrer que f est strictement croissante sur IR.

Correction

Soient x et y deux éléments de IR tel que x<y.
Nous montrons qye f(x)<f(y) .
x<y ⇔ 2x<2y ⇔ 2x+4<2y+4
⇔ f(x)<f(y)
ainsi f est strictement croissante sur IR.

Tableau de variations de f

x	-∞		+∞
f		↗

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=-3x+1. Montrer que f est strictement décroissante sur IR.

Correction

Soient x et y deux éléments de IR tel que x<y.
Nous montrons que f(x)>f(y).
x<y ⇔ -3x>-3y
⇔ -3x+1>-3y+1 ⇔ f(x)>f(y)
alors f est strictement décroissante sur IR.

Tableau de variations de f

x	-∞		+∞
f		↘

Remarque On dit qu'une fonction est monotone sur un intervalle I, si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x³.
Etudier la monotonie de f sur IR.

Correction
f est un polynôme donc D=IR.
Soient x et y∈IR tel que x<y
puisque l'exposent 3 est impair alors l'inégalité ne change pas donc x³<y³ ou encore f(x)<f(y)
ainsi f est strictement croissante sur IR et donc f est strictement monotone sur IR.

Tableau de variations

x	-∞		+∞
f		↗

4.1.4 Fonction constante

Définitions
f est constante sur un intervalle I⊂D si
pour tous x et y de I on a f(x)=f(y).

Exemple
La fonction f de la variable réel x définie par f(x)=7 est une fonction constante sur IR.

Remarque
Soient f une fonction numérique de la variable réel x et I⊂D_f. On dit que f est constante sur I si elle s'écrit sous la forme f(x)=k avec k∈IR pour tout x∈I.

Exemples
1) La fonction f de la variable x définie par f(x)=1 est une fonction constante sur IR.

x	..	-2	..	-1	..	0	..	1	..	2	..
f(x)	..	1	..	1	..	1	..	1	..	1	..

2) La fonction g de la variable x définie par g(x)=-3 est une fonction constante sur IR.

x	..	-2	..	-1	..	0	..	1	..	2	..
g(x)	..	-3	..	-3	..	-3	..	-3	..	-3	..

Fonction nulle
f est une fonction nulle sur un intervalle I
Si pour tout x∈I on a f(x)=0.