4- Variations d'une fonction et extremums

4.1 Variations d'une fonction

4.1.1 Activité

En deux minutes et demie, un réservoir d'eau a été rempli de 2 mètres cubes par minute.
1) (a) Déterminer la fonction qui relie la durée et la quantité d'eau correspondante dans le réservoir.
(b) Déterminer la quantité d'eau à la deuxième minute et demie.

(c) Déterminer la quantité d'eau à la première minute et à la druxième minute.
2) On suppose que le réservoir vide son eau pendant la même durée et la même quantité.
(a) Déterminer la fonction qui relie la durée et la quantité d'eau correspondante dans le réservoir.
(b) Déterminer la quantité d'eau dans le réservoir à la première minute.
(c) Déterminer la quantité d'eau dans le réservoir à la deuxième minute.

Correction
1) A la première minute, la quantité d'eau est de deux mètres cubes.
Dans la deuxième minute, deux mètres cubes sont ajoutés au réservoir.
La quantité d'eau dans le réservoir devient 2.2=4 mètres.
La fonction r qui relie la durée x∈[0;2,5] et la quantité d'eau correspondante dans le réservoir est définie par r(x)=2x.

Par définition on dit que la fonction r est croissante sur l'intervalle [0;2,5].

2) A la minute 0 la quantité d'eau est de 5 mètres cubes d'eau dans le réservoir.

Après exactement une minute, deux mètres cubes d'eau du réservoir diminueront et la quantité deviendra 5-2=3 mètre cube.
Dans la deuxième minute, deux mètres cubes d'eau du réservoir diminuent et la quantité deviendra 5-2.2=1 mètre cube.
La fonction v qui relie la durée x∈[0;2,5] et la quantité d'eau correspondante dans le réservoir est définie par v(x)=5-2x.

Par définition on dit que v est une fonction décroissante sur l'intervalle [0;2,5].

4.1.2 Fonction croissante

Définitions
Soient f une fonction numérique et I un intervalle inclu dans D_f.
1) On dit que f est une fonction croissante sur I si pour tous x et y de I
tel que x<y alors f(x)≤f(y).
2) On dit que f est strictement croissante sur I si pour tous x et y de I
tel que x<y alors f(x)<f(y).

4.1.3 Fonction décroissante

Définitions Soient f une fonction numérique et I un intervalle I⊂D.
1) On dit f est décroissante sur I si pour tous x et y de I
tel que x<y alors f(x)≥f(y).
2) On dit f est strictement décroissante sur I si pour tous x et y de I
tel que x<y alors f(x)>f(y).