Exercice 1 tp

Soit f une fonction et (C) sa courbe dans un repère.

Déterminer graphiquement les variations de f sur des intervalles
]-∞;x₀] ; [x₀;x₁] et [x₁;+∞[.

Correction

1) f est croissante sur l'intervalle ]-∞;x₀].
2) f est constante sur l'intervalle [x₀;x₁].
3) f est décroissante sur l'intervalle [x₁;+∞[.

Tableau de variations de f

4.1.5 Taux d'accroissement d'une fonction

Définition
Soient f une fonction de domaine de définiton D ; x et y deux nombres réels différents de D.
Le nombre T(x;y) défini par

est appelé le taux d'accroissement de f entre x et y.

Propriétés
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I.
1) f est croissante sur I si pour tous x et y de I tel que x≠y on a T(x;y)≥0.
2) f est décroissante sur I si pour tous x et y de I tel que x≠y on a T(x;y)≤0.
3) f est constante sur I si pour tous x et y de I tel que x≠y on a f(x)=f(y).

4) f est strictement croissante sur I si pour tous x et y de I tel que x≠y on a T(x;y)>0.
5) f est strictement décroissante sur I si pour tous x et y de I tel que x≠y on a T(x;y)<0.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+4x.
1) Etudier les variations de la fonction f
sur ]-∞;-2] et sur [-2;+∞[.

2) Tracer le tableau de variations de f.

Correction

Soient x et y∈IR tels que x≠y.
f(x)-f(y)=x²+4x-(y²+4y)
=(x²-y²)+4(x-y)=(x-y)(x+y)+4(x-y)
=(x-y)(x+y+4) donc

après simplification on obtient
T(x;y)=x+y+4.

Etudions le signe de x+y+4
1) (a) x et y∈]-∞;-2] signifie x≤-2 et y≤-2
donc x+y<-4 (l'inégalité est stricte car x≠y ne peuvent pas prendre la même valeur)
ou encore x+y+4<0 donc T(x;y)<0
ainsi f est strictement décroissante sur
]-∞;-2].
(b) x et y∈[-2;+∞[ signifie x≥-2 et y≥-2
donc x+y>-4.

(l'inégalité est stricte car x et y sont différents ne peuvent donc pas avoir la valeur -2 en même temps)
ou encore x+y+4>0
donc T(x;y)>0 ainsi f est strictement croissante sur [-2;+∞[.

2) Tableau de variations de f