4.2 Extremums d'une fonction

4.2.1 Valeur minimale

Définition
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I.
La plus petite valeur des images des nombres de I par f est appelée valeur minimale de f sur I.

En d'autre terme
m est une valeur minimale de f sur I s'il existe un élément a dans I
tel que (∀x∈I): f(x)≥m=f(a)

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x²+1.
Montrer que 1 est un minimum de f.

Correction
Pour tout x∈IR on x²≥0 donc x²+1≥1
ainsi pour tout x∈IR on a f(x)≥1.
Il reste à savoir s'il existe un élément a dans I=IR tel que f(a)=1.
On résout donc l'équation f(x)=1 dans I.
f(x)=1 ⇔ x²+1=1 ⇔ x²=0 ⇔ x=0
ainsi 1=f(0) est un minimum de f.

4.2.2 Maximum d'une fonction numérique

Définition
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I.
La plus grande valeur des images des nombres de I par f est appelée valeur maximale de f sur I.

En d'autre terme
M est une valeur maximale de f sur I s'il existe un élément a dans I tel que
(∀x∈I): f(x)≤M=f(a).

Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x)=-x²+3
Montrer que 3 est un maximum de f.

Correction
Pour tout (x∈IR) on a -x²≤0 donc -x²+3≤3
ainsi pour tout (x∈IR): f(x)≤3.
Il reste à savoir s'il existe un élément a dans I=IR tel que f(a)=3.
On résout donc l'équation f(x)=3 dans I.
f(x)=3 ⇔ -x²+3-3=0 ⇔ -x²=0 ⇔ x=0
ainsi 3=f(0) est un maximum de f.

4.2.3 Extremum d'une fonction

Définition
Toute valeur minimale ou maximale d'une fonction dans un intervale est appelée exremum.

f(x₀) et f(x₁) sont deux extremums de f