Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=2x²+4x+5.
Montrer que 3 est un extremum de f sur IR.

Correction

Soit x∈IR.
f(x)-3=2x²+4x+5-3=2x²+4x+2
=2(x²+2x+1)=2(x+1)²
2(x+1)² est positif
donc pour tout (x∈IR): f(x)≥3.
Il reste à déterminer a tel que f(a)=3.

f(a)=3 ⇔ f(a)-3=0 ⇔ 2(a+1)²=0 ⇔ a=-1
donc 3=f(-1) est bien un minimum de f
d'où 3 est un extremum de f.

4.2.4 Propriétés

Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I=[a;b] et c∈I .
1) Si f est croissante sur [a;c] et décroissante sur [c;b] alors f(c) est un maximum de f sur I.

2) Si f est décroissante sur [a;c] et croissante sur [c;b] alors f(c) est un minimum de f sur I.

Exemple Soit f une fonction numérique. Nous déterminons un extremum de f à partir de son tableau de variations sur [0;3].

x		0		1		3
f			↗	4	↘

f est strictement croissante sur [0;1].

f est strictement décroissante sur [1;3]
et puisque f(1)=4 alors 4 est une valeur maximale de f.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique.
Déterminer les varaiations de f et un extremum à paritr de son tableau de variations suivant.

x		-∞		-2		+∞
f			↘	3	↗

Correction

f est strictement décroissante sur ]-∞;-2] et strictement croissante sur [-2;+∞[
de plus f(-2)=3 alors 3 est une valeur minimale de f.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique de la variable réel x définie par f(x)=x².
Etudier la monotonie de f sur IR⁺ puis sur IR^-.

Correction

Pour tout x∈IR on a x²∈IR donc D=IR.
1) Soient x et y∈IR⁺ tel que x<y.
Puisque x et y sont tous les deux positifs alors l'inégalité ne change pas.
x²<y² ou encore f(x)<f(y).

Ainsi f est strictement croissante sur IR⁺.
2) Soient x et y∈IR^- tel que x<y.
Puisque x et y sont tous les deux négatifs et l'exposent 2 est un nombre pair alors l'inégalité change.
x²>y² ou encore f(x)>f(y)
et donc f est strictement décroissante sur IR^- ainsi f n'est pas monotone sur IR.

Tableau de variations de f

x		-∞		0		+∞
f			↘	0	↗

Remarque
A partir du tableau de variations de f on déduit que 0 est la plus petite image de f.
En d'autre terme (∀x∈IR): f(x)≥0

de plus f(0)=0 donc (∀x∈IR): f(x)≥f(0). ainso 0=f(0) est une valeur minimale de f.