تمرين 1 tp

مثال
لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=2x²+4x+5.
بين ان 3 مطراف للدالة f على IR.

تصحيح

لكل x∈IR لدينا f(x)-3=2x²+4x+5-3
=2x²+4x+2=2(x²+2x+1)
=2(x+1)²≥0
اذن لكل x∈IR لدينا f(x)≥3.
الآن نبحث عن عنصر a بحيث f(a)=3 ?

f(a)=3 ⇔ f(a)-3=0
⇔ 2(a+1)²=0 ⇔ a=-1
اذن 3=f(-1) ومنه فان 3 قيمة دنوية للدالة f عند -1 وبالتالي 3 مطراف للدالة للدالة f عند -1.

4.2.4 خاصيات

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I = [a ; b] و c∈I
1) اذا كانت f تزايدية قطعا على المجال [a;c] وتناقصية قطعا على المجال [c;b] فان f(c) هي قيمة قصوى للدالة f على I.

2) اذا كانت f تناقصية على المجال [a;c] وتزايدية على المجال [c;b] فان f(c) هي قيمة دنيا ل f على I.

مثال
لتكن f دالة معرفة على [0;3] بجدول تغيراتها .

x		0		1		3
f			↗	4	↘

f تزايدية قطعا على [0;1] وتناقصية قطعا على [1;3] وبما ان f(1)=4 فان 4 قيمة قصوى للدالة f عند 1.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية.
حدد تغيرات ومطرافا للدالة f انطلاقا من جدول تغيراتها.

x		-∞		-2		+∞
f			↘	3	↗

تصحيح

من خلال جدول تغيرات الدالة f نستنتج أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال ]-∞;-2] وتزايدية قطعا على المجال [-2;+∞[
وبالاضافة أن f(-2)=3
فان لكل x∈IR لدينا f(x)≤f(-2).
وهذا يعني أن f(-2)=3 قيمة قصوى للدالة f.

تمرين 3 tp

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x بحيث f(x)=x².
ادرس رتابة الدالة f على IR⁺ ثم على IR^-.

تصحيح

لكل x∈IR لدينا x²∈IR اذن D=IR.
1) ليكن x ; y∈IR⁺ بحيث x<y.
بما ان x و y موجبان معا فان المتفاوتة لا تتغير
اذن x²<y² أي f(x)<f(y)
وبالتالي f تزايدية قطعا على IR⁺.

2) ليكن x ; y∈IR⁺ بحيث x<y.
بما ان x و y سالبان معا والأس 2 زوجي فان المتفاوتة تتفير.
اذن x²>y² أي f(x)>f(y)
ومنه فان f تناقصية قطعا على IR^- وبالتالي f ليست رتيبة على IR.
جدول التغيرات

x		-∞		0		+∞
f			↘	0	↗

ملاحظة هامة
من خلال جدول تغيرات الدالة f نستنتج ان العدد 0 هو اصغر صور الدالة f.
وبعبارة أخرى أن لكل x∈IR لدينا f(x)≥0

وبما ان f(0)=0
فان لكل x∈IR لدينا f(x)≥f(0).
وهذا يعني أن f(0) قيمة دنيا للدالة f عند 0.