1.2.3 Fonction impaire

Définition
Soient f une fonction numérique de la variable réel x et D son domaine de définition.
On dit que f est une fonction impaire si les conditions suivantes sont vérifiées
1) Pour tout x∈D on a (-x) ∈D.
2) Pour tout x∈D on a f(-x)=-f(x).

Remarque
1) Soit f est une fonction impaire.
Si x∈D alors son opposé appartient à D et de plus leurs images par f sont opposées (f(-x)=-f(x)).

2) Si une fonction f est définie sur un domaine n'est pas centré en 0 alors f n'est pas impaire

Interprétation graphique d'une fonction impaire
Soit f une fonction impaire et C_f sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
Puisque pour tout x∈IR on a f(-x)=-f(x) alors les deux points M(x;f(x)) et M'(-x;-f(x)) sont symétriques par rapport à l'origine.

Résultat
La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O.

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x³
Montrer que f est impaire.

Correction
(a) ∀x∈IR on a x³∈IR donc D_f=IR.
(b) On a D_f=IR donc ∀x∈D_f on a (-x)∈D_f.
(c) On compare f(x) et f(-x).
Soit x∈IR. On a f(-x)=(-x)³=-x³
donc f(-x)=-f(x) ainsi f est une fonction impaire.