Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique de la variable réel x définie par

f(x) =	1
	x² - 2

1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Montrer que f est une fonction paire.

Correction

1) f est définie si x²-2≠0.

x²-2=0 ⇔ x²=2 ⇔ (x=√2 ou x=-√2)
ainsi D=IR\{-√2 ; √2}.
2) On montre que f est paire.
D est l'ensemble des nombres réels sauf (-√2) et (√2) alors D est centré en 0
donc pour tout x∈D on a (-x)∈D.
Soit x∈D on calcule f(-x).

f(-x) =	1	=	1
	(-x)² - 2		x² - 2

donc f(-x)=f(x) ainsi f est paire.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x³-3x.
Montrer que f est une fonction impaire.

Correction

1) f est un polynôme donc D_f=IR.
ainsi pour tout x∈IR on a -x∈IR.
Soit x∈IR.
f(-x)=(-x)³-3(-x)=-x³+3x.

Nous factorisons par -1
donc f(-x)=-(x³-3x)=-f(x) et cela signifie que f est une fonction impaire.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique de la variable réel x définie par
h(x)=x²+x+3.
Etudier la parité de la fonction f.

Correction

1) f est un polynôme donc D_f=IR.
2) L'ensemble IR est centré en 0 donc pour tout x∈IR on a -x∈IR.
3) On compart f(x) et f(-x)
f(-x)=(-x)²+(-x)+3=x²-x+3
f(-x)≠f(x) et f(-x)≠-f(x)
f n'est donc ni paire ni impaire.

(contre exemple f(1)=5 et f(-1)=3
3 et 5 ne sont ni égaux ni opposés donc f n'est ni paire ni impaire)

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique de la variable x définie par

f(x) =	x
	x² - 1

1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
2) Montrer que f est une fonction impaire.

Correction

1) f(x)∈IR signifie x²-1≠0
x²-1=0 ⇔ (x-1)(x+1)=0
⇔ (x+1=0 ou x-1=0) ⇔ (x=-1 ou x=1)
donc D=IR\{-1;1}.

2) L'ensemble D est symétrique par rapport à 0
donc pour tout x∈D on a (-x)∈D.

Soit x∈D

f(-x) =	- x	=	- x	= - f(x)
	(-x)²-1		x²-1

f(-x)=-f(x) ainsi f est une fonction impaire.