2- Fonction bornée

2-1 Fonction minorée

2.1.1 Exemple

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²-2x-1.
Montrer que (∀x∈IR) (f(x)≥-2).

Correction
Soit x∈IR. On étudie le signe de f(x)-(-2).
f(x)-(-2)=x²-2 1 2
=x²-2x+1=(x-1)²
(x-1)²≥0 donc (∀x∈IR) ( f(x)≥-2).
On dit alors que f est minorée par -2.

2.1.2 Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I
On dit que f est minorée sur I s'il existe un nombre réel m tel que pour tout x∈I on a f(x)≥m.
ou encore (∃m∈R) (∀x∈I) (f(x)≥m ).

Remarque Si f est minorée sur I par un nombre m alors sa courbe (C) est au dessus de la droite d'équation y=m.

2.2 Fonction majorée

2.2.1 Exemple

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 1 -	1
	x

Montrer que (∀x∈IR_+*) (f(x)<1

Correction f fonction est définie si x≠0 donc D=IR*.
On montre que (∀x∈IR_+*) (f(x)-1<0).

f(x) - 1 =	-1	< 0
	x

signifie (∀x∈IR^+*) (f(x)<1).
On dit alors que f est majorée par 1.

2.2.2 Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est majorée sur I s'i existe un nombre réel M tel que pour tout x∈I on a f(x)<M.
ou encore (∃M∈IR) (∀x∈I) (f(x)≤M).

Remarque Si f est majorée sur I par un nombre M alors sa courbe (C) est au dessous de la droite d'équation y=M.