2- الدالة المكبورة والدالة المصغورة والدالة المحدودة

2.1 الدالة المصغورة

2.1.1 مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x²-2x-1.
بين ان (∀x∈IR) ( f(x)≥-2 ).

تصحيح
ليكن x∈IR .
ندرس اشارة f(x)-(-2)
f(x)+2=x²-2x-1+2=x²-2x+1=(x-1)².
لدينا (x-1)²≥0 اذن (∀x∈IR) (f(x)≥-2).

نقول ان الدالة f مصغورة بالعدد -2
وأي عدد أصغر من -2 تكون الدالة f مصغورة به أيضا.

2.1.2 تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I.
نقول ان f مصغورة على المجال I اذا وجد عدد حقيقي m
بحيث لكل x∈I لدينا f(x)≥m.
وبتعبير آخر f مصغورة على I
يعني (∃m∈IR)(∀x∈I) (f(x)≥m).

ملاحظة اذا كانت f دالة مصغورة بعدد m فان (C) منحنى الدالة f يكون فوق المستقيم الذي معادته y=m.

2.2 الدالة المكبورة

2.2.1 مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) = 1 -	1
	x

بين ان (∀x∈IR^+*) (f(x)<1).

تصحيح

تصحيح
ليكن x∈IR^+* اذن x≠0
وبالتالي f معرفة على IR^+*
نبين ان (∀x∈IR^+*) (f(x) - 1 < 0) ?

f(x) - 1 =	-1	< 0
	x

اذن (∀x∈IR^+*) (f(x)<1) نقول ان الدالة f مكبورة بالعدد 1 وأي عدد أكبر من 1 تكون الدالة f مكبورة به أيضا.

2.2.2 تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I.
نقول ان f مكبورة على المجال I اذا وجد عدد حقيقي M
بحيث لكل x∈I لدينا f(x)≤M.
وبتعبير آخر f مكبورة على I
يعني (∃M∈IR) (∀x∈I) (f(x)≤M).

ملاحظة اذا كانت f دالة مكبورة بعدد M فان (C) منحنى الدالة f يكون تحت المستقيم الذي معادته y=M.