Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie
f(x)=x²+5
Montrer que f est minotée par 4.

Correction

Soit x∈IR. On étudie le signe de f(x)-(4).
f(x)-4=x²+5-4=x²+1
Puisque pour tout x∈IR on a x²+1>0
donc (∀x∈IR) (f(x)>4)
et cela signifie que f est minorée par 4.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie
f(x)=-x²+1.
Montrer que f est majorée par 2.

Correction

Soit x∈IR. On étudie le signe de f(x)-(2).
f(x)-2=-x²+1-2=-x²-1=-(x²+1)
(∀x∈IR) on a x²+1>0
donc -(x²+1)<0
ainsi (∀x∈IR) (f(x)<2)
et cela signifie que f est majorée par 2.

2.2.3 Fonction bornée

On dit qu'une fonction f est bornée sur un intervalle I si elle est à la fois majorée et minorée sur I.

2.2.4 Propriété

f est bornée sur I signifie
(∃m∈IR)(∃M∈IR) (∀x∈I) (m≤f(x)≤M ).
ou encore
f est bornée ⇔ (∃α>0) (∀x∈I): |f(x)|≤α.