تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي

f(x) =	x
	x - 2

1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f
2) بين ان f تناقصية قطعا على ]-∞ ; 2[
وتناقصية قطعا كذلك على ]2 ; +∞[ وانشئ جدول تغيراتها.

تصحيح

1) الدالة f معرفة اذا كان مقامها غير منعدما
أي x - 2 ≠ 0 أي x ≠ 2
اذن D = IR\{2}

ويمكن كتابة D على شكل اتحاد مجالات
D = ]-∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[
2) لدراسة رتابة الدالة f يمكن دراسة اشارة معدل التغير T(x ; y)

T(x ; y) =	f(x) - f(y)
	x - y

ليكن x;y∈D حيث x≠y
نحسب أولا f(x) - f(y)

f(x) - f(y) =	x	-	y
	x - 2		y - 2

=	x(y - 2) - y(x - 2)	=	- 2(x - y)
	(x - 2)(y - 2)		(x - 2)(y - 2)

بالاختزال ب x-y نحصل على T(x ; y)

T(x ; y) =	- 2
	(x - 2)(y - 2)

لدينا -2 < 0 اذن اشارة T(x ; y)
هي عكس اشارة (x - 2)(y - 2)
ليكن x;y∈]-∞ ; 2[ اذن
x < 2 اي x - 2 < 0
y < 2 اي y - 2 < 0

ومنه فان (x - 2)(y - 2) > 0
اذن T(x ; y) < 0 وهذا يعني ان f دالة تناقصية قطعا على ]-∞ ; 2[
ليكن x;y∈]2 ; +∞[ اذن
x > 2 اي x - 2 > 0
y > 2 اي y - 2 > 0
ومنه فان (x - 2)(y - 2) > 0
اذن T(x ; y) < 0 وهذا يعني ان f دالة تناقصية قطعا على ]2 ; +∞[

x		-∞		2		+∞
f			↘		↘

للتذكير f دالة عددية معرفة على حيز ممركز مركزه 0
(D = I ∪ J)
نفترض ان الدالة فردية
اذا كانت الدالة تناقصية على المجال I
J فانها كذلك تناقصية على المجال
اذا كانت الدالة تناقصية على المجال I
فانها كذلك تناقصية على المجال J
نفترض ان الدالة زوجية
اذا كانت الدالة تناقصية على المجال I
فانها تزايدية على المجال J
اذا كانت الدالة تزايدية على المجال I
فانها تناقصية على المجال J.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية بحيث

f(x) =	1
	x

1) تحقق أن الدالة فردية
2) ادرس رتابة الدالة f على المجال
]-∞ ; 0[ واستنتج الرتابة على المجال
]0 ; +∞[
3) انشئ جدول تغيرات الدالة f

تصحيح

1) الدالة f معرفة اذا كان x≠0
ومنه فان D = IR* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
اذن لكل x∈D لدينا (-x)∈D

f(-x) =	1	= -	1	= - f(x)
	-x		x

وهذا يعني أن f دالة فردية
2) ليكن x;y∈I = ]0 ; +∞[ بحيث x < y
x و y غير منعدمان ولهما نفس الاشارة (موجبان معا) اذن

1	>	1
x		y

يعني أن f(x) > f(y)
يعني أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال I
وبما أن f دالة فردية فانها تناقصية قطعا كذلك على المجال J = ]-∞ ; 0[.

3) جدول تغيرات f

x		-∞		0		+∞
f			↘		↘