Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	x
	x - 2

Montrer que f est strictement décroissante
sur ]-∞ 2[ et strictement décroissante
aussi sur ]2 ; +∞[ et tracer son tableau de variations.

Correction

1) f est définie si x-2≠0
x-2=0 ⇔ x=2

Donc D = IR \{2} = ]-∞ ; 2[∪]2 ; +∞[
Soient x;y∈D tel que x≠y

f(x) - f(y) =	x	-	y
	x-2		y-2

=	x(y-2) - y(x-2)
	(x-2)(y-2)
=	-2(x-y)
	(x-2)(y-2)

Donc le taux d'accroissement de f entre x et y

T(x ; y) =	f(x)- f(y)	=	-2
	x-y		(x-2)(y-2)

Signe de T(x ; y)
(a) Si x;y∈]-∞ ; 2[ alors x < 2 et y < 2
ou encore (x-2) < 0 et (y-2) < 0
donc (x-2)(y-2) > 0
ainsi T(x ; y) < 0 car -2 < 0
Alors f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; 2[

(b) Si x;y∈]2 ; +∞[ alors x > -2 et y > -2
ou encore (x-2) > 0 et (y-2) > 0
donc (x-2)(y-2) > 0
ainsi T(x ; y) < 0 car -2 < 0
Alors f est strictement décroissante
sur ]2 ; +∞[
Tableau de variations

x		-∞		2		+∞
f			↘		↘

Rappel
Soit f une fonction numérique de domaine de définiton D centré en 0 on posr (D=I∪J)
1) On suppose f est paire
Si f est décroissante sur I alors elle est décroissante sur J
Si f est décroissante sur I alors elle est croissante sur J
2) On suppose f est impaire
Si f est croissante sur I alors elle est aussi croissante sur J
Si elle est décroissante sur I alors elle est aussi décroissante sur J

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	1
	x

1) Vérifier que f est impaire
2) Montrer que f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; 0[ et strictement décroissante aussi
sur ]0 ; +∞[ et tracer son tableau de variations

Correction

f est définie si x≠0 donc D = IR*
ou encore D = )-∞ ; 0[ ∪]0 ; +∞[

f(-x) =	1	= -	1	= - f(x)
	-x		x

Donc f est une fonction impaire
2) Soient x;y∈I = ]0 ; +∞[ tel que x < y
x et y sont positifs et non nuls donc

1	>	1
x		y

Signifie f(x) > f(y)
Donc f est strictement décroissante sur I
Puisque f est impaire alors f est également strictement décroissante sur J = ]-∞ ; 0[

3) Tableau de variations de f

x		-∞		0		+∞
f			↘		↘