تمرين 1 tp

لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
f(x) = 2x² - 4x + 2 و g(x) = 2(x - 1)²
1) حدد مجموعة تعريف كل من f و g
2) قارن f و g.

تصحيح

1) الدالة f حدودية اذن D_f = IR
الدالة g حدودية بعد النشر اذن D_g = IR
2) مقارنة f و g
للتذكير
f = g يكافئ D_f = D_g ولكل x∈D لدينا f(x) = g(x)
لدينا الشرط الأول محقق D_f = D_g

ليكن x∈D = IR
g(x) = 2(x - 1)² = 2(x² - 2x + 1)
= 2x² - 4x + 2 = f(x)
اذن الشرط الثاني كذلك محقق وبالتالي f = g

تمرين 2 tp

لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
f(x) = x + 1

g(x) =	x² - 2x + 1
	x-1

1) قارن f و g ?
2) اذا كانت f ≠ g حدد المجموعة E بحيث لكل x∈E لدينا f(x) = g(x)

تصحيح

1) لدينا f دالة تآلفية اذن D_f = IR
لدينا g(x)∈IR اذا كان x-1≠0 أي اذا كان x≠1
ومنه فان D_g = IR\{1}
بما ان الشرط D_f = D_g لم يتحقق فان f≠g
2) اذا كان x≠1 فان

g(x) =	x² - 2x + 1	=	(x-1)²
	x-1		x-1

نختزل ب x - 1 ونحصل على g(x) = x - 1
وهذا يعني أن لكل x∈IR\{1} لدينا f(x) = g(x)
ومنه فان E = IR \ {1}

تمرين 3 tp

لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
f(x) = √(x²) و g(x) = x
1) حدد مجموعة تعريف كل من f و g
2) قارن بين f و g

تصحيح

1) الجذر المربع معرف بالنسبة للاعداد الموجبة
ولكل x من IR لدينا x² ≥ 0 اذن D_f = IR
ولدينا g حدودية اذن D_g = IR
2) نقارن بين f و g
الشرط الاول محقق لان D_f = D_g
بالنسبة للشرط الثاني هل f(x) = g(x) لكل x∈IR ?

نعلم ان √(x²) = |x|
اذن f(x) ≠ g(x)
نأخذ مثالا مضادا
نضع x = -1 لدينا f(-1) = |-1| = 1
و g(-1) = -1 وهذا يعني ان f(-1) ≠ g(-1)
ومنه فان الشرط الثاني غير محقق وبالتالي f≠g

تمرين 4 tp

لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي

1) حدد مجموعة تعريف كل من f و g
2) قارن بين f و g

تصحيح

1) (q1) مجموعة تعريف الدالة f
Df = {x∈IR / x² + x + 2 ≠ 0}
نحل المعادلة x² + x - 2 = 0
Δ = b²-4ac = 1²-4.1.(-2) = 9 > 0 اذن المعادلة تقبل حلين مختلفين

اي x = -2 او x = 1 اذن D_f = IR \ {-2 ; 1}

مجموعة تعريف الدالة g
D_g = {x∈IR / x-1≠0 و x+2≠0}
نحل المعادلة الاولى x-1 = 0 يعني x=1

نحل المعادلة الثانية x+2 = 0 يعني x=-2
ومنه فان D_g = IR \ {-2 ; 1}
2) نقرن بين f و g الشرط الاول محقق لان D_f = D_g نتحقق من الشرط الثاني
ليكن x∈IR \ {-2 ; 1} نوحد مقام الدالة g

اذن لكل x∈IR \ {-2 ; 1} لدينا f(x)=g(x)
وبالتالي f = g.