Généralités sur les fonctions (4)
Exercice 1 tp
Soient f et g deux fonctions numériques définies par
| f(x) = | x + 1 | et | g(x) = | 1 |
| x² - 1 | x - 1 |
1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions f et g.
2) Comparer f et g.
Correction
1) f est définie si x² - 1 ≠ 0
x² - 1 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ (x = 1 ou x = -1)
Ainsi Df = IR \ {-1 ; 1}
g est définie si x - 1 ≠ 0
x - 1 = 0 ⇔ x=1
Ainsi Dg = IR \ {1}
2) Puisque Df ≠ Dg alors
f ≠ g
Notons que si x ≠ - 1 alors f(x) = g(x)
| f(x) = | x + 1 | = | x + 1 |
| x² - 1 | (x-1)(x+1) | ||
| = | 1 | = g(x) | |
| x - 1 |
Exercice 2 tp
Soient f et g deux fonctions définies par
| f(x) = 2 + | 3 | et | g(x) = | 2x + 1 |
| x - 1 | x - 1 |
1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions f et g
2) Comparer f et g
Correction
1) f est définie si x-1≠0
x-1 = 0 ⇔ x=1
Donc Df = IR \ {1}
g est définie si x-1≠0
x-1 = 0 ⇔ x=1.
Donc Dg = IR \ {1}
2) Comparons f et g
(i) Df = Dg = IR
(ii) Soit x∈IR
Méthode (1) On réduit au même dénominateur
| f(x) = 2 + | 3 | = | 2(x-1) -3 |
| x-1 | x-1 | ||
| = | 2(x-1) + 3 | = | 2x+1 |
| x-1 | x-1 |
Donc f(x) = g(x) alors f = g pour x∈IR\{1}
Méthode (2) On commence par g(x)
| g(x) = | 2x + 1 | = | 2x-2 +2+1 |
| x-1 | x-1 | ||
| = | 2(x+1) | + | 3 |
| x-1 | x-1 | ||
| = | 2 | + | 3 |
| x-1 |
Donc f(x) = g(x) ainsi f = g
Exercice 3 tp
Soient f et g deux fonctions numériques définies par
| f(x) = a + | b | et | g(x) = | x-2 |
| x+2 | x+2 |
1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions f et g
2) Déterminer a et b tel que pour tout x∈D
on a f(x) = g(x)
Correction
1) f est définie si x+2≠0
x+2 = 0 signifie x=-2 Donc Df = IR\{-2}
g est définie si x+2≠0
x+2 = 0 signifie x=-2
Donc Dg = IR\{-2}
2) Déterminons a et b tel que f(x) = g(x)
f(x) = g(x) signifie
| a + | b | = | x-2 |
| x + 2 | x + 2 |
| a + | b | = | x+2 - 2 - 2 |
| x + 2 | x + 2 | ||
| = | x + 2 | + | -4 |
| x + 2 | x + 2 | ||
| = | 1 | + | -4 |
| x + 2 |
Et donc a = 1 et b = -4.