للتذكير
لتكن f دالة عددية و D مجموعة تعريفها
نعتبر عنصرين مختلفين x و y من D
معدل تغير الدالة f بين العددين x و y هو العدد الذي نرمز له ب T(x ; y) ومعرف كما يلي

للتذكير
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I
1) تكون f تزايدية على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا T(x ; y) ≥ 0
2) تكون f تناقصية على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا T(x ; y) ≤ 0
3) تكون f ثابتة على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا T(x ; y) = 0
4) تكون f تزايدية قطعا على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا T(x ; y) > 0
5) تكون f تناقصية قطعا على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا T(x ; y) < 0

تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x) = x² + 4x
1) ادرس رتابة الدالة f على المجالين
I = ]-∞ ; -2] و J = [-2 ; +∞[
2) انشئ جدول تغيرات الدالة f

تصحيح

لدراسة تغيرات دالة عددية يمكن استعمل معدل تغيراتها ليكن x و y عنصرين مختلفين من IR
f(x) - f(y) = x²+4x - (y²+4y)
= (x²-y²) + 4(x-y)
= (x-y)(x+y)+4(x-y)
= (x-y)(x+y+4)

اذن

بعد الاختزال نحصل على T(x ; y) = x + y + 4
1) ليكن x; y∈]-∞ ; -2] اذن x ≤ -2 و y ≤ -2
ومنه فان x + y < -4
(المتفاوتة اصبحت قطعا لان x و y مختلفان لايمكن ان يأخذان نفس القيمة - 2 في نفس الوقت )
اذن x + y + 4 < 0
ومنه فان T(x ; y) < 0 وهذا يعني أن الدالة f تناقفصية قطعا على المجال I

ليكن x ; y∈[-2 ; +∞[ حيث x≠y
اذن x ≥ -2 و y ≥ -2
ومنه فان x + y > -4
(المتفاوتة اصبحت قطعا لان x و y مختلفان لايمكن ان يأخذان نفس القيمة - 2 في نفس الوقت )
اذن x + y + 4 > 0
اومنه فان T(x ; y) > 0 وهذا يعني أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال J
2) جدول التغيرات

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x) = -2x² + 3
1) ادرس رتابة الدالة f على المجالين
I = IR⁺ و J = IR^-
2) انشئ جدول تغيرات الدالة f

تصحيح

نحسب معدل تغير الدالة f بين عددين ليكن x;y∈IR بحيث x≠y لدينا
f(x) - f(y) = -2x² + 3 - (-2y² + 3)
= -2x² + 2y² = -2(x² - y²)
= -2(x - y)(x + y)

اذن

بعد الاختزال نحصل على T(x ; y) = -2(x + y)
1) ليكن x; y∈I = ]-∞ ; 0] اذن x ≤ 0 و y ≤ 0
ومنه فان x + y < 0
(المتفاوتة اصبحت قطعا لان x و y مختلفان لايمكن ان يأخذان نفس القيمة 0 في نفس الوقت )
اذن -2(x + y) > 0
ومنه فان T(x ; y) > 0 وهذا يعني أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال I

ليكن x ; y∈J = [0 ; +∞[ حيث x≠y
اذن x ≥ 0 و y ≥ 0
ومنه فان x + y > 0
(المتفاوتة اصبحت قطعا لان x و y مختلفان لايمكن ان يأخذان نفس القيمة 0 في نفس الوقت )
اذن -2(x + y) < 0
ومنه فان T(x ; y) < 0 وهذا يعني أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال J
جدول تغيرات الدالة f