Rappel
Soient f une fonction de domaine de définiton D ; x et y deux réels distincts (x≠y) de D
On appelle taux d'accroissement de f entre x et y le nombre T(x;y) défini par

Rappel
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I
1) f est croissante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x≠y on a T(x;y)≥0
2) f est décroissante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x≠y on a T(x;y)≤0
3) f est constante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x≠y on a f(x) = f(y)
4) f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x≠y on a T(x;y)>0

5) f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x≠y on a T(x;y)<0

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = x² + 4x
1) Etudier les variations de la fonction f sur ]-∞;-2] et sur [-2;+∞[
2) Tracer le tableau de variations de f

Correction

Soient x; y∈IR tels que x≠y
f(x)-f(y) = x²+4x - (y²+4y)

= (x²-y²)+4(x-y) = (x-y)(x+y)+4(x-y)
= (x-y)(x+y+4)

Après simplification on obtient
T(x;y) = x + y + 4
Etudions le signe de x+y+4
1) (a) x; y∈]-∞;-2] signifie x≤-2 et y≤-2

Donc x+y < -4 (car x≠y ne peuvent pas prendre la même valeur)
ou encore x+y+4 < 0 donc T(x;y) < 0
ainsi f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; -2]
(b) x; y∈[-2;+∞[ signifie x≥-2 et y≥-2
donc x+y > -4 (l'inégalité est stricte car x et y sont différents ne peuvent donc pas avoir la valeur -2 en même temps)
ou encore x+y+4 > 0
donc T(x;y) > 0 ainsi f est strictement
croissante sur [-2 ; +∞[

2) Tableau de variations de f

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = -2x² + 3
1) Etudier les variations de la fonction f sur IR⁺ et sur IR^-
2) Tracer le tableau de variations de f

Correction

Soient x;y∈IR tels que x≠y
f(x) - f(y) = -2x² + 3 - (-2y² + 3)
= -2x² + 2y² = -2(x² - y²)
= -2(x - y)(x + y) donc

1) Soient x; y∈IR⁺ donc x≥0 et y≥0
ainsi x+y > 0 on a l'inégalité stricte car x et y sont différents ne peuvent donc pas avoir la valeur 0 en même temps

Par suit 2(x+y) > 0 alors f est strictement croissante sur IR⁺
(ii) Soient x; y∈IR^-
donc x≤0 et y≤0 ainsi x+y < 0
et par suit 2(x+y) < 0 alors f est strictement décroissante sur IR^-
2) Tableau de variations de f