Limite d'une fonction numérique (3)
2- Limite finie et infinie en un point
2.1 Limite infinie en un point
2.1.1 Définition 1
Soient f une fonction et a∈IR.
Si f tend vers +∞ quand x tend vers a
| on écrit | lim x→a |
f(x) = +∞ |
2.1.2 Définition 2
Soient f une fonction et a∈IR.
Si f tend vers -∞ quand x tend vers a
| on écrit | lim x→a |
f(x) = -∞ |
2.1.3 Exemple 1
lim 0 |
1 | = +∞ |
| x² |
2.1.4 Exemple 2
Calculons
lim 3 |
1 | = ? |
| (x-3)² |
On pose t=x-3. Si x→3 alors t→0.
lim 3 |
1 | = | lim (t→0) |
1 | = | +∞ |
| (x-3)² | t² |
| ainsi | lim 3 |
1 | = +∞ |
| (x-3)² |
2.2 Limite finie en un point
2.2.1 Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²-1 |
| x-1 |
Compléter le tableau suivant
| x | 0,9 | 0,99 | 1 | 1,01 | ||
| f(x) | .. | .. | .. | .. |
Conclusion
On a 1∉D
donc pour x≠1 on a
| f(x) = | x²-1 | = | (x-1)(x+1) |
| x-1 | x-1 |
donc si x≠1 alors f(x)=x+1
n'oubliez pas que 1 n'a pas d'image par f
mais on peut calculer des images de quelques éléments
qui se rapprochent de 1 et donner une conjecture sur la limite.
Pour cette fonction la limite au point 1 est 2.
lim x→1 |
f(x) = | lim x→1 |
x+1 = 2 |
2.2.2 Définition
Soient f une fonction numérique et a∈IR.
si f(x) tend vers L quand x tend vers a,
on écrit
lim x→a |
f(x) = L | ou | lim a |
f(x) = L |
et on lit, limite de f au point a est L.
2.2.3 Propriété
Soient f une fonction numérique et a∈IR.
lim a |
f(x) = L ⇔ | lim a |
(f(x)-L) = 0 |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²-25 |
| x+5 |
1) Montrer que f(x)=x-5 pour x≠-5.
| 2) Calculer | lim -5 |
f(x) |
Correction
On a
| x²-25 | = | (x-5)(x+5) |
| x+5 | x+5 |
Si x≠-5 alors f(x)=x-5 donc
lim x→-5 |
f(x) = | lim x→-5 |
(x-5) = - 10 |