Limite d'une fonction numérique (4)
3- Limite finie et limite infine en ±∞
3.1 Limite finie en ±∞
3.1.1 Définition 1
Soit f une fonction numérique.
Si f(x) tend vers L quand x tend vers +∞
on écrit
lim x→+∞ |
f(x) = L | ou | lim +∞ |
f(x) = L |
2)
3.1.2 Définition 2
Soit f une fonction numérique.
Si f(x) tend vers L quand x tend vers -∞
on écrit
lim x→-∞ |
f(x) = L | ou | lim -∞ |
f(x) = L |
Exemples
lim -∞ |
1 | = 0 | lim -∞ |
1 | = 0 | |
| x | x² |
3.1.3 Propriété
lim ±∞ |
f(x) = L ⇔ | lim ±∞ |
f(x)-L =0 |
lim a |
f(x) = L ⇔ | lim a |
f(x)-L = 0 |
Exemple
Calculer
lim +∞ |
-3 + | 1 |
| x² |
Correction
On pose
| f(x) = | -3 + | 1 |
| x² |
lim +∞ | f(x) - (-3) = | lim +∞ | 1 | = 0 |
| x² |
donc
lim +∞ |
f(x) = -3 |
3.2 Limite infinie en ±∞
3.2.1 Définition 1
Soit f une fonction numérique.
Si f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞
| on écrit | lim +∞ |
f(x) = +∞ |
et on lit limite de f en +∞ est +∞.
3.2.2 Définition 2
Soit f une fonction numérique.
Si f(x) tend vers -∞ quand x tend vers +∞
| on écrit | lim +∞ |
f(x) = -∞ |
et on lit limite de f en -∞ est +∞.
Exemple
lim +∞ |
x² = +∞ | lim -∞ |
x³ = -∞ |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)=5+x³
Calculer
lim +∞ |
f(x) |
Correction
On a
lim +∞ |
f(x) - 5 = | lim +∞ |
x³ = +∞ |
(l'infini plus 5 est toujours l'infini) donc
lim +∞ |
f(x) = +∞ |
3.2.3 Théorème
Si une fonction admet une limite alors cette limite est unique