Limite d'une fonction numérique (6)
5- Opérations sur les limites
5.1 Propriétés et limite d'une fonction polunôme ou rationnelle
5.1.1 Propriétés 1
Soient f et g deux fonctions qui admettent des limites finies en a et k∈IR.
lim a |
f(x)+g(x) = | lim a |
f(x) | + | lim a |
g(x) |
lim a |
f(x)×g(x) = | lim a |
f(x) | × | lim a |
g(x) |
lim a |
k×f(x) | = k × | lim a |
f(x) |
| si | lim a |
g(x)≠0 | alors |
lim a |
f(x) | = | lim a |
f(x) |
| g(x) | lim a |
g(x) |
Exemples
1) Soit f une fonction définie par
f(x)=2x+x³.
lim 4 |
f(x) = | lim 4 |
2x | + | lim 4 |
x³ |
| donc | lim 4 |
f(x) = 2.4+2 =10 |
2) Soit g une fonction définie par
g(x)=-4x(1+x²)
lim 1 |
g(x) = -4( | lim 1 |
x | × | lim 1 |
1 + x²) |
| donc | lim 1 |
g(x) = -4.1(1 + 1) = -8 |
3) Soit h une fonction numérique définie par
| h(x) = | -3 + x |
| 2x |
| Calculer | lim 4 |
h(x) |
lim 4 |
-3 + x | = | lim 4 |
-3 + x |
| 2x | lim 4 |
2x |
donc
lim 4 |
-3 + x | = | 1 |
| 2x | 8 |
5.1.2 Propriétés 2
Limite de la somme
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
(f(x)+g(x)) |
| L | +∞ | +∞ | |||
| +∞ | +∞ | +∞ | |||
| -∞ | -∞ | -∞ | |||
| +∞ | -∞ | ╳ | |||
| -∞ | +∞ | ╳ | |||
╳ signifie Forme indéterminée.
Limite du produit
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
(f(x).g(x)) | ||
| L < 0 | -∞ | +∞ | |||||
| L > 0 | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | -∞ | -∞ | |||||
| 0 | +∞ | ╳ | |||||
| -∞ | -∞ | +∞ | |||||
Limite du quotient
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
f(x) | ||
| g(x) | |||||||
| L > 0 | 0+ | +∞ | |||||
| L > 0 | 0- | -∞ | |||||
| ± ∞ | ± ∞ | ╳ | |||||
| +∞ | 0+ | +∞ | |||||
| 0 | 0 | ╳ | |||||
Les propriétés restent vraies si x→±∞.