Limite d'une fonction numérique (7)
5.2 Limites des polynômes et des fonctions rationnelles
5.2.1 Rappel
Soient p un polynôme de degré n et de variable réel x, (n∈IN) et a;b;c;d∈IR.
1) Si n=1 alors p(x)=ax+b.
Exemple p(x)=3x+5.
2) Si n=2 alors p(x)=ax²+bx+c.
Exemple p(x)=5x²+2x+7.
3) Si n=3 alors p(x)=ax³+bx²+cx+d.
Exemple
p(x)=2x³-3x²+x-5.
4) Si p(x) et q(x) sont deux polynômes alors la fonction f définie par
| f(x) = | p(x) |
| q(x) |
est appelée fonction rationnelle.
Exemples
| f(x) = | 2x + 5 | g(x) = | -3x² + 7x +1 | |
| x-3 | x²-1 |
5.2.2 Limite au point a
Soient p(x) et q(x) deux polynômes et a∈IR.
lim a |
p(x) = p(a) |
| Si q(a)≠0, | lim a |
p(x) | = | p(a) |
| q(x) | q(a) |
Exemple 1
| 1) | lim 2 |
x³-x²+10 = 2³-2²+10 = 14 |
| 2) | lim -5 |
x²-1 = (-5)² - 1 = 24 |
| 3) | lim 4 |
2x-1 | = | 2.4-1 | = | 7 |
| 3x+2 | 3.4+2 | 14 |
donc
lim 4 |
2x-1 | = | 1 |
| 3x+2 | 2 |
5.2.3 Limite en ±∞
Propriété
Soit p(x) un polynôme de degré n.
lim +∞ |
p(x) = | lim +∞ |
(axn) |
lim -∞ |
p(x) = | lim -∞ |
(axn) |
Exemple 1
lim +∞ |
5x²-7x+8 = | lim +∞ |
5x² = +∞ |
Exemple 2
lim +∞ |
-4x²+7x+1 = | lim +∞ |
-4x² = -∞ |
Exemple 3
lim -∞ |
x³ + 5x² - x + 7 = | lim -∞ |
(x³) = -∞ |
Exemple 4
lim -∞ |
-2x³+x = | lim -∞ |
(-2x³) = -(-∞) = +∞ |
5.2.3 Propriétés
Soient p(x) un polynôme de degré n tel que axn son terme du plus grand degé
et q(x) un polynôme de degré m tel que bxm son terme du plus grand degé.
lim +∞ |
p(x) | = | lim +∞ |
axn |
| q(x) | bxm | |||
lim -∞ |
p(x) | = | lim -∞ |
axn |
| q(x) | bxm |
Exemple 1
lim -∞ |
4x + 3 | = | lim -∞ |
3x | = | 3 |
| 7x - 2 | 7x | 7 |
Exemple 2
lim +∞ |
3x-1 | = | lim +∞ |
3x |
| 4x²+5x | 4x² | |||
| = | lim +∞ |
3 | = | 3 |
| 4x | 4(+∞) |
| donc | lim +∞ |
3x-1 | = 0 |
| 4x²+5x |