Notions de logique (2)
1.2.4 Impliquation ⇒
Une propostion p implique une propostion q est une proposition notée p⇒q. Elle est fausse si p est vraie et q est fausse sinon elle est vraie.
| p | q | p ⇒ q | |
| Table de vérité | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 |
Remarque p⇒q signifie si p alors q.
Exemples
1) (5=8+10 ⇒ 2>0) est une proposition vraie
car la première est fausse.
2) (8=4+4 ⇒ 2²=7) est une proposition fausse
car la première est vraie et la deuxième est fausse.
3) (2>10 ⇒ 100=3) est une proposition vraie
car la première est fausse.
4) (2∈IN → 2∈IR) est une proposition vraie car les deux sont vraies.
1.2.5 Equivalence ⇔
Soient p et q deux propostions.
(p est équivalente à q) est une
proposition notée p⇔q.
Elle est vraie si p et q sont vraies ou les deux sont fausses sinon elle est fausse.
Autrement dit si (p⇒q) et (q⇒p) sont vraies (ou toute les deux sont fausse) alors (p⇔q) est vraie.
Table de vérité
| p | q | p⇔q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Exemples
1) (10=8+10 ⇔ 2>10) est une proposition vraie
car les deux propositions sont fausses.
2) (8=4+4 ⇔ 2²=7) est une proposition fausse
car la première est vraie et la deuxième est fausse.
3) (2<10 ⇔ 100=10²) est une proposition vraie
car les deux propostions sont vraies.
4) (ab=0) ⇔ (a=0 ∨ b=0) est une proposition vraie car c'est une loi logique.
5) (ab=0) ⇔ (a=0 ∧ b=0) est une proposition fausse
contre exemple 2.0=0 ⇎ 2=0∧0=0.
1.3 Fonctions propositionnelles
1.3.1 Définition
Une fonction propositionnelle est une phrase qui comporte une variable (ou plusieurs) et si cette variable prend une valeur alors la fonction devient une proposition.
1.3.2 Exemples
Soient x et y deux nombres réels.
1) L'expression x+1=0 n'est pas une proposition car elle contient une variable x.
Si on pose x=0 on obtient une propostion 0+1=0
de plus est une proposition fausse.
x+1=0 est donc une fonction propositionnelle de la variable x.
2) L'expression x+y+1= 0 est Une fonction propositionnelle de deux variables x et y.
Si on pose x=0 et y=-1 on obtient proposition
0-1+1=0 de plus est une proposition vraie.
| 3) { | x + y = 7 |
| x - y = 3 |
est une fonction propositionnelle de deux variables
x et y.
Si on pose x=5 et y=2 on obtient proposition
(5+2=7)∧(5-2=3) de plus elle est vraie.