2- Les quantificateurs

2.1 Quantificateur existentiel

2.1.1 Exemple

On considère une fonction propositionnelle
p(x): (x∈IR): x²-1=0
On ajoute à cette fonction les mots il existe au moins
L'expression devient il existe au moins un élément x de IR tel que x²-1=0
Cette nouvelle expression est vraie.

On remplace le mot existe par le symbole ∃.
La fonction propositionnelle deviendra donc une proposition
(∃x∈IR): x²-1=0.

2.1.2 Définition

Soit p(x) une fonction propositionnelle de la variable x.
L'écriture (∃x∈IR) / p(x) est une proposition et lit (il existe au moins un élément dans IR tel que p(x)). Le symbole ∃ est appelé quantificateur existentiel.

Remarque
Si l'existence de x est unique
on écrit ∃!x∈R / p(x).

Exemples 1) (∃!x∈IN): x+1=1 est une propostion vraie car l'équation x+1=1 admet une solution unique (x=0).
2) (∃!x∈IN): x²=4 est une propostion fausse car l'équation x²=4 admet deux solutions (-2 et 2).

2.2 Quantificateur universel

2.2.1 Exemple 1

Soit p(x): x∈R/ x²≥0 une fonction propositionnelle de variable x.
Nous ajoutons les mots pour tout à la fonction, l'expression devient pour tout x de IR on a x²≥0 et qui est une expression vraie.
Nous remplaons le mot tout par le symbole ∀, nous obtenons donc une proposition
proposition et on écrit ∀x∈IR / x²≥0.

2.2.2 Définition

Soit p(x) une fonction propositionnelle de variable x.
L'écritire ∀x∈IR / p(x) est une proposition et on lit pour tout x dans IR on a p(x). Le symbole ∀ est appelé quantificateur universel.

Remarque Soit p(x;y) une fonction propositionnelle de deux variables.
1) Si nous ajoutons un seul quantificateur à une seule variable alors l'écriture que nous obtenons, n'est pas une proposition.

∀x∈R/ p(x;y) reste encore une fonction propositionnelle de variable y.

L'écrire ∃y∈R/ p(x;y) reste également une fonction propositionnelle de variable x.
2) ∀x;∃y∈R/ p(x;y) est une proposion
de même ∀x;∀y∈R/ p(x;y) est une proposion.
3) La dispostion des quantificateurs de même nature n'a aucune importance sur la valeur de vérité d'une propostion.
(∀x;∀y=∀y;∀x).

Exemples
1) Il existe un nombre réel x et il existe un nombre réel y tel que x+y=3
est une proposition vraie et on peut l'écrire comme suit
(∃x∈IR)(∃y∈IR)/ x+y=3.

Ou encore (∃y∈IR)(∃x∈IR)/ x+y=3.
Nous avons dit que c'est une proposition vraie car il suffit de poser (x=1 et y=2).
L'égalité 1+2=3 est vraie.

2) Pour tout nombre réel x, il existe un entier naturel n tel que n>x
on peut l'écrire comme suit
(∀p∈IN)(∃n∈IN) / n>p qui'est une proposition vraie car il suffit de poser n=p+2, (p+2>p).
Dans ce cas si nous changeons l'ordre des quantificateurs, nous obtiendrons une autre proposition
(∃n∈IN)(∀p∈IN)/ n>p qui'est une proposition fausse car il suffit de poser p=n+5, (n n'est pas supérieur à n+5).