4- استعمال متتاليات حسابية او هندسية

تمرين 1 tp

لتكن (u_n)_n∈IN متتالية عددية معرفة كما يلي

نعتبر متتالية (v_n)_n∈IN معرفة كما يلي
v_n=u_n+1.
1) احسب v₀.

2) بين ان (v_n) متتالية هندسية يجب تحديد اساسها.
3) حدد v_n بدلالة n.
4) استنتج u_n بدلالة n.

تصحيح

1) لدينا v_n = u_n + 1
اذن v₀=u₀+1=3+1=4.
2) نبين ان (v_n) متتالية هندسية لذلك نحسب v_n+1
لدينا v_n=u_n + 1 اذن v_n+1=u_n+1+1
يعني v_n+1 =(2u_n+1)+1=2(u_n+1)
وبما ان u_n+1=v_n فان v_n+1=2v_n.

v_n+1=2v_n يعني ان (v_n) متتالية هندسية
اساسها q = 2 وحدها الاول v₀=4.

3) نحدد v_n بدلالة n
بما ان (v_n) متتالية هندسية
فان v_n=v₀qⁿ
اذن v_n=4.2ⁿ
4) بما ان v_n=u_n+1 فان u_n=v_n-1
وبالتالي u_n=4.2ⁿ-1.

تمرين 2 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية معرفة كما يلي

نعتبر المتتالية (v_n)_n≥1 المعرفة كما يلي
v_n=u_n-1
1) احسب v₁.

2) بين ان المتتالية (v_n)_n≥1 هي متتالية هندسية ينبغي تحديد اساسها.
3) حدد v_n ثم u_n بدلالة n.

تصحيح

1) لدينا v_n=u_n-1
اذن v₁=u₁-1=3-1.
وبالتالي v₁=2.

2) نبين ان (v_n)_n≥1 متتالية هندسية لذلك نحسب v_n+1.
v_n+1=u_n+1-1
=-3u_n+4-1
=-3u_n+3=-3(u_n-1)
=-3v_n.
لدينا اذن v_n+1=-3v_n
وهذا يعني أن (v_n)_n≥1 متتالية هندسية اساسها -3.

3) نحدد v_n بدلالة n
(u_n)_n≥1 متتالية هندسية اذن v_n=v₁.(-3)^n-1
ومنه فان v_n=2.(-3)^n-1.
بما ان v_n=u_n-1 فان u_n=v_n+1
اذن u_n=2.(-3)^n-1+1.