4- Utilisation des suites arithmétiques ou géométriques

Exercice 1 tp

Soient (u_n)_n∈IN une suite définie par

et (v_n)_n∈IN une suite définie par v_n=u_n+1.
1) Calculer v₀.

2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique.
3) Déterminer v_n en fonction de n..
4) Déduire u_n en fonction de n.

Correction

1) On a v_n=u_n+1
donc v₀=u₀+1=3+1=4
2) Nous montrons que (v_n) est une suite géométique
pour cela on calcule v_n+1.
On a v_n=u_n+1 donc v_n+1=u_n+1+1
ou encore v_n+1=(2u_n+1)+1=2(u_n+1).

Puisque u_n+1=v_n alors v_n+1=2v_n ainsi (v_n) est une suite géométrique de raison q=2 et v₀=4.
3) On détermine v_n en fonction de n.
Puisque (v_n) est une suite géométrique alors
v_n=v₀qⁿ et donc v_n=4.2ⁿ.
4) On a v_n=u_n+1 donc u_n=v_n-1
ainsi u_n=4.2ⁿ-1.

Exercice 2 tp

Soient (u_n)n≥1 une suite définie par

et (v_n) une suite définie par
v_n=u_n-1.
1) Calculer v₁.

2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont la raison doit être déterminée.
3) Déterminer v_n et u_n en fonction de n.

Correction

1) On a v_n=u_n-1
donc v₁=u₁-1=3-1=2.

2) On a v_n+1=u_n+1-1
donc v_n+1=-3u_n+4-1
=-3u_n+3=-3(u_n-1)=-3v_n
ainsi (v_n)n≥1 est une suite géométrique de raison -3.

3) On calcule v_n en fonction de n
Puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n=v₁q^n-1 ou encore v_n=2.(-3)^n-1
v_n=u_n-1 donc u_n=v_n+1
ainsi u_n=2.(-3)^n-1+1.