Généralités sur les suites numériques (4)
2.2 Terme général d'une suite arithmétique
2.2.1 Introduction
Soit (un)n≥0 une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0
donc un+1=un+r ainsi
| u1 = u0 + r | ... | |
| u2=u1+r | un-1=un-2+r | |
| u3=u2+r | un=un-1+r |
Nous effectuons membre à membre la somme de ses égalités
nous optenons donc un=u0+nr.
2.2.2 Propriété
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.
Le terme général de la suite (un) est défini par un=u0+nr.
Exemple
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0=7 et de raison 4
Calculer u2021
Correction
(un) est une suite arithmétique
donc
un=u0+nr
et donc u2021=7+2021.4
ainsi u2021=8091.
2.2.3 Propriété
Soit (un)n≥p une suite arithmétique de raison r.
Le tereme général un=up+(n-p)r.
Remarque
Si u1 est le premier terme d'une suite arithmétique (un)n≥1
alors un=u1+(n-1)r.
Exemple
Soit (un)n≥1 une suite arithmétique de premier terme u1=10 et de raison 5.
Calculer u2022.
Correction
(un)n≥1 est une suite arithmétique de premier terme u1
donc
u2022=u1+(2022-1)r
ou encore u2022=10+2021.5
ainsi u2022=10115.
Exercice 1 tp
Soit (un)n≥0 une suite arithmétique telle que u25=1000 et u30=1250.
calculer la raison de la suite (un).
Correction
La suite (un)n≥0 est une suite arithmétique de premier terme u0
donc un=up + (n-p)r tel que 0≤p≤n
et donc u30=u25+(30-25)r
ou encore u30=u25+5r.
On a donc 1250=1000+5r
ou encore 5r=1250-1000
ou encore 5r=250
ainsi r=50.