Généralités sur les suites numériques (5)
2.3 Somme de n premiers termes d'une suite arithmétique
2.3.1 Introduction
Soit (un)n≥1 une suite arithmétique et S la somme de n premiers termes
S=u1+u2+...+un
S=un+un-1+...+u1.
(Je vous laisse Vérifier que
u1+un=u2+un-1= .. =un+u1).
On a n est le nombre de termes de la somme
donc 2S=n(u1+un)
ainsi
| S = | n | (u1 + un) |
| 2 |
en d'autre terme
| S = | Nb de termes | (1er terme + Dérnier terme) |
| 2 |
2.3.2 Propriétés
Propriété 1
Soit (un)n≥0 une suite arithmétique
et S=u0+u1+..+un-1.
| S = | n | (u0 + un-1) |
| 2 |
tel que n-0+1=n est le nombre de termes de la somme.
Exemple
Soit (un)n≥0 une suite arithmétique de raison 5
et de premier terme u0=2.
S=u0+u1+..+un-1
n-0+1=n est le nombre de termes de la suite.
| On a S = | n | (u0 + un-1 ) | |
| 2 |
Puisque (un)n≥0 est une suite arithmétique
alors un=u0+n.r=2+5n.
On a donc
un-1=2+5(n-1)=2-5+5n=-3+5n
et donc
| S = | n | (2 + (-3 + 5n)) |
| 2 |
ainsi
| S = | n | (-1 + 5n) |
| 2 |
Propriété 2
Soit (un)n≥1 une suite arithmétique.
Si S=u1+u2+..+un.
alors
| S = | n | (u1 + un) |
| 2 |
tel que n-1+1=n est le nombre de termes de la somme.
Propriété 3
Soit (un)n≥p une suite arithmétique.
Si S=up+up+1+..+un.
alors
| S = | n-p+1 | (up + un) |
| 2 |
tel que n-p+1 est le nombre de termes de la somme.
Exemple
Soit (un)n≥2 une suite arithmétique de raison 5 et u2=3
Calculer S=u2+u3+..+u21.
Correction
21-2+1=20 est le nombre determes de S
On a u21=u2+(21-2).r
=3+19.5=3+95 donc u21=98.
| alors S = | 20 | (u2+u21) = 1010 |
| 2 |