تمرين 1 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية هندسية اساسها q
حيث q>0 و u₃=75 و u₅=1875.
احسب q والحد الأول u₁.

تصحيح

1) لدينا (u_n)_n≥1 متتالية هندسية أساسها q
اذن u_n=u_pq^n-p حيث 1≤p≤n
ومنه فان u₅= u₃q^5-3

أي 1875=75q²
أي q²=25 وبما أن q > 0 فان q=5
2) لدينا u₃=u₁q² اي 75=25.u₁
اذن u₁=3.

3.3 مجموع n حد اولى من متتالية هندسية

3.3.1 تقديم

لتكن (u_n)_n≥0 متتالية هندسية اساسها q و S مجموع n حد اولى منها .
S=u₀+u₁+ .. +u_n-1
بما أن عدد الحدود n والحد الأول u₀ لان الرتبة تبدأ من 0 فان الحد الأخير للمجموع هو u_n-1.
اذا كان q=1 فان S=nu₀.

اذا كان q≠1 فان
S=u₀+u₀q+..+u₀q^n-1
=u₀(1+q+q²+..+q^n-1).

n=(n-1)-0+1 عدد الحدود.

3.3.2 خاصية

(u_n)_n≥p متتالية هندسية اساسها q≠1 و
S=u_p+u_p+1+ .. +u_n.

n-p+1 عدد الحدود.

مثال
لتكن (u_n) متتالية هندسية
اساسها q=2 و u₀=5
1) احسب S=u₀+u₁+ .. +u_n-1 بدلالة n.
2) استنتج u₀+u₁+u₂.

تصحيح
1) عدد الحدود (n-1)-0+1=n اذن

اذن S=-5(1-2ⁿ).
2) u₀+u₁+u₂
عدد الحدود 3=2-0+1
اذن u₀+u₁+u₂=-5(1-2³)
=-5.(-7)=35.

3.3.3 ثلاث حدود متتابعة من متتالية هندسية

اذا كانت a و b و c ثلاث حدودد متتابعة من متتالية هندسية
فان a×c=b².

مثال
بين أن 7 و 35 و 175 حدود متتابعة من متتالية هندسية

تصحيح
لدينا 7×175=1225 ولدينا 35²=1225
اذن 7×175=35² وبالتالي 7 و 35 و 175 حدود متتابعة من متتالية هندسية أساسها 5.