3- Suites géométriques

3.1 Exemple et définition

3.1.1 Exemple

Compléter le tableau suivant

Les nombres 2 ; 10 ; 50 ; ... sont des termes d'une suite récurrente, ou chaque terme est égal au terme précédent multiplié par 5.

On dit que ce sont des termes d'une suite géométrique de raison 5.

3.1.2 Définition

Soit (u_n)_n∈I une suite numérique tel que I⊂IN.
On dit que (u_n)_n∈I est une suite géométrique de raison q si elle s'écrit sous la forme u_n+1=qu_n tel que n∈I et son premier terme est un nombre réel a.

Exercice 1 tp

Calculer le deuxième ; le troisième et le cinquième terme d'une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 1.

Correction

Nous notons cette suite par (u_n)_n≥0.
1) Puisque la suite est définie pour n≥0 alors le premier terme u₀=1.
On a u_n+1=qu_n donc u₁=qu₀=3.1
ainsi le deuxième terme u₁=3.

2) On a u₂=qu₁ ou encore u₂=3.3
ainsi le troisième terme u₂=9.

3) Cinquième terme u₄
On a u₄=qu₃. On calcule d'abord u₃.
u₃=qu₂ ou encore u₃=3.9=27
donc u₄=3.27
ainsi le cinquième terme u₄=81.

Exercice 2 tp

Calculer la raison d'une suite géométrique de premier terme 4 et de deuxième terme 20.

Correction

Nous notons cette suite par (u_n)_n≥1.
donc u₁=4 et u₂=20.
On a u₂=qu₁ donc 20=4q
ainsi q=5.

3.2 Terme général d'une suite géométrique

3.2.1 Introduction

Soit (u_n)_n≥0 une suite géométrique de raison q et de premier terme u₀ donc u_n+1=qu_n

Effectuons membre à membre le produit des égalités et après simplification nous obtiendrons u_n=u₀qⁿ.

3.2.2 Propriété

Soit (u_n)_n∈IN une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q.
Le terme général de la suite (u_n) est défini par u_n=u₀qⁿ.

Remarque
Si u₁ est le premier terme de la suite alors u_n=u₁q^n-1.

3.2.3 Propriété

(u_n)_n≥p une suite géométrique de raison q si et seulement si u_n=u_pq^n-p.

Exercice 3 tp

Soit (u_n) une suite géométrique de raison 2 et u₀=7 Calculer u₅.

Correction

(u_n) est une suite géométrique donc u_n=u₀qⁿ
et donc u₅=7.2⁵ ainsi u₅=224.