Exercice 1 tp

Soit (u_n)_n≥1 une suite géométrique de raison q>0 tels que u₃=75 et u₅=1875.
Calculer q et u₁.

Correction

1) (u_n)_n≥1 une suite géométrique de raison q
donc u_n=u_pq^n-p tel que 1≤p<n.
et donc u₅=u₃q^5-3.

Ou encore 1875=75q²
ou encore q²=25
puisque q<0 alors q=5.
2) On a u₃=u₁q² ou encore 75=25 u₁
donc u₁=3.

3.3 Somme de n premiers termes d'une suite géométrique

3.3.1 Introduction

Soit (u_n)_n≥0 une suite géométrique de raison q et S la somme de n premiers termes de la suite.
Puisque le nombre de terme n et le rang commence à 0 alors le dernier indice doit être n-1
donc S=u₀+u₁+...+u_n-1.
Si q=1 alors S=nu₀.

Si q≠1 alors
S=u₀+u₀q+..+u₀q^n-1
=u₀(1+q+q²+..+q^n-1)
On accepte le résultat suivant
(∀n∈IN*\{1})

(n-1)-0+1=n est le nombre de termes de S.

3.3.2 Propriété

Soit (u_n)_n≥p une suite géométrique de raison q≠1.
Si S=u_p+u_p+1+..+u_n alors

tel que n-p+1 est le nombre de termes de S.

Exemple
Soit (u_n)_n≥0 une suite géométrique de raison q=2 et u₀=5.
1) Calculer S=u₀+u₁+..+u_n-1 en fonction de n.
2) Déduire u₀+u₁+u₂.

Correction
1) (n-1)-0+1=n est le nombre de termes de S.

ainsi S=-5(1-2ⁿ).

2) u₀+u₁+u₂
Le nombre de terme de cette somme 2-0+1=3
donc
u₀+u₁+u₂=-5(1-2³)=-5.(-7)
ainsi u₀+u₁+u₂=35.

3.3.3 Trois termes consécutifs

Si a ; b et c sont trois termes consécutifs d'une suite géométique alors ac=b².

Exemple
Montrer que 7 ; 35 et 175 sont trois termes consécutifs d'une suite géométique.

Correction
7×175=1225 et 35²=1225
donc 7×175=35²
alors 7 ; 35 et 175 sont trois termes consécutifs d'une suite géométique de raison 5.