La fonction exponentielle népérien (3)
1.2.3 Limites usuelles
lim +∞ |
ex = +∞ |
lim -∞ |
ex = 0 |
lim +∞ |
ex | = +∞ |
| x |
Exercice 1 tp
Calculer les limites suivantes
| 1) | lim +∞ |
x + ex |
| 2) | lim - ∞ |
x - xex |
| 3) | lim +∞ |
e2x - ex |
| 4) | lim +∞ |
ex + ln(x) |
Correction
1) On a
lim +∞ |
x = +∞ | lim + ∞ |
ex = +∞ |
puisque +∞+∞=+∞
alors
lim +∞ |
x + ex = +∞ |
2) On a
lim -∞ |
x = -∞ | lim - ∞ |
ex = 0 |
puisque -∞-∞×0 est une forme indéterminée alors on utilise une autre méthode
lim -∞ |
x - xex = | lim -∞ |
x(1 - ex) |
Puisque
lim -∞ |
ex = 0 |
| alors | lim -∞ |
(1 - ex) = 1 |
on a -∞×1=-∞
donc
lim -∞ |
x - xex = -∞ |
3) On a e2x=(ex)²
donc
lim +∞ |
e2x - ex = | lim +∞ |
(ex)² - ex |
| = | lim +∞ |
ex(ex - 1) |
| puisque | lim +∞ |
ex = +∞ |
| alors | lim +∞ |
ex - 1 = +∞ |
On a +∞×(+∞)=+∞
alors
lim +∞ |
e2x - ex | = +∞ |
4) On a
lim +∞ |
ln(x) = +∞ | lim + ∞ |
ex = +∞ |
et +∞+∞=+∞
donc
lim +∞ |
ex + ln(x) = +∞ |